COS YZ

■ eOABCsin

.TJ'

cos .ro

cos yz

«'t désignant par (X,), ... les cocflicienls de Xi , . . . dans R, lesquels peuvent se développer d'après le ^ VI, 5.

Si, en particulier, P est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre OABC, on a g^=z g^ = g3= fi , et par

suite A] = - r/i, , h^=z — u»^, h^

7. La position du point P par rapport au tétraèdre OABC est complètement déterminée par ses distances à trois des faces du tétraèdre, en comptant positivement les distances normales dirigées vers l'intérieur, négativement les distances normales dirigées vers l'extérieur (ou vice versa). Désignons, d'une part, les faces OBC, OCA,OAB, CBA par/, , f^, f.j,, /; les distances du point P à ces faces par i>y , /72 , /7;, , p • d'autre part, les coordonnées des points A, l>, C, P, par rapport à trois axes passant pai O, comme

précédemnienl : ou a, entre ees clélerniinalions île V les relations suivantes (*).

Posons, comme au § XVI, 7.

OABC : OBCP : OCAP : oabp : cbap = i : p, : fx, : fz, : u ,

6 OABC = V sin xjz ; on en tire

I : a, : {/, : p, ; [A = V sin xYz : 2/,/», : 2/, /^. : 2/. p : 27^ ,

sin ryz

On a. parcelle substiluliou,

[ sin a;;z

3j -h ÇjZ,

sin XYZ

Sin

et réciproquement

I i .r Vsin j:>'3 =/I a», '-i -h/./'j J^. -h/iPr. -V:. ,

(II) ' -7 Vsin xyz =/ p, j, -^fiV^.yi -^AP:.y' «

f-z Vsinxrz =/,/^, s, H-/./^:-. -hAp:,^^. 1 2

En vertu de Téquation u -h ,a, -f- ,u, + Uj = 1 , on a

(III) fp ^f>P^ +//'-' -^f^P= = \ Vsin^jc.

Si, en particulier, P est le centre d une sphère langenle

(*) Lagrange, ioc. cil., 24.

222 SECONDE PARTIE, ^ XVllI.

aux faces du tétraèdre, les valeurs absolues de /?, ^i, p^, p^ sout égales entre elles, tandis que les signes de ces quantités diffèrent suivant que les diverses faces sont touchées intérieurement ou extérieurement. En désignant par p le rayon de la sphère inscrite proprement dite, on a

(/ -^/ -\-A +A )? = - V sin xyz ,

(/ +/i -^A -t-/i ) -^ =/ -î^. -1-/2 ^2 4-/3 a-, , (/+/i +fz^fi)y =/ J. 4-/2 J2 4-/3 J3,

Si p' est le rayon de la sphère qui touche extérieurement la facef, et intérieurement les autres faces, on a p= — p', pi z= p^ = p^ = p', etc. En faisant toutes les combinaisons de signes possibles, on trouve onze rayons, dont six sont égaux deux à deux, et huit centres.

8. Les relations qui existent (*) entre les coordonnées gi , g-, , ^3 , ou /i, , /«2 , h» (6) du point P, et les coordonnées a, , jijig , fJi3 , ou Pi ^ p^i Pi (7 ) du même point, s'obtiennent par la substitution des valeurs de x, y 2, trouvées au § XVI, 7. dans les expressions que l'on vient de trouver pour hi , hz , /is . Dans la formule

/i, = fx, [X, X, -hjK.Y, H- z,Z|) 4- fX2(j^jX, 4- j-iY, -f-z,Z,)

-f- fi3(x.,X, -h JsY, 4-Z3Z1),

le coefficient de f/i a pour valeur OA* = aj, , le coefficient àep.9 pour valeur OA.OB.cos AOB= «12, etc. {Démonstration, § XVI, 4). On a, d'après cela,

/ //, = p., «1, ■+ fX.Cn-l- ptafl,.-,, (I) { Â,, =r jix, a,., -t-fAjfljs-l- fijûj,,

( *) La(;kanoe, Ioc. cit., a(K

APPLICATIONS DES DÉTERMIWAMTS. 223

Au lieu de développer le déterminant que l'on doit égaler à zéro pour calculer /* (6), on peut poser immédiatement, comme ci-dessus.

h =:.7:X-hjY+zZ,

et il vient

(II) r^ . r

{ =f*l «11+ P-2«J2-+-f^3«33 + 2f/,p2«l2-+-2fX,pt.,a,,,-|-?.fijpt,fl',3.

Réciproquement (^X\II, 7; § IX, 1) on a

= V'sin'.7:jz,

fin

a, V'sin' JC/z =: /i, a.^^-)- h, a,, -|- A, a,, , piV^sin^jrjzzzz /(, a,2+'^2«22 -+- ^3»,,,

dani

( p3 V sin' .rjz == // , a, 3 + /i, «23 + /I3 a, , ,

c<i 1 > i3Ci2 , . . , étant les coefficients de aj , , a, g , déterminant qui exprime V^sin^j^z.

Au moyen des substitutions

fi,Vsinjrxz = 2/, /^,, etc.. (7), «„ = 4/% «,2 = 4/1/2005,2, etc.. (§ XVII, 3; § XVII, I»),

on déduit des relations ci-dessus les suivantes