I - /?3 V sin.rjz =: /t, /, cosi:, H- /^/i cosjj -{- /is/j

9. La relation entre quatre points A, B, C, D d'un même cercle peut s'exprimer au moyen des propriétés des angles, des distances ou des aires, qui sont déterminés par les points en question. D'après un théorème connu, contenu dans les Éléments ifEuch'de^ la différence des angles

ACB — ADB = o ou = i8o",

d'où en général,

(I) 2(ACB — ADR) = o (*),

lorsque les points donnés sont sur un même cercle, et <jue l'on prend avec le même signe les angles décrits par des rotations effectuées dans le même sens. L'angle zéro équivaut à 36o°.

De plus, d'après le théorème de Ptolémée [^Imageste, I, 9), on a

(II) \/p -+- \/g -h s/'- = o.

en désignant par p, g, r les produits des carrés des droites opposées qui joignent les quatre points du cercle A, B, C, D. On tire de cette équation l'équation rationnelle entre les carrés des distances mutuelles de ces quatre points. On peut établir une équation analogue à cette dei'nièrc entre

( " ) MoEBiiis, Kreisi'erwcindlschnfl, § XIV .

les carrés des distances mutuelles de ciiuj points d'une sphère.

On coiinait enfin les relations entre quatre points d'un cercle ou cinq points d'une sphère, et un autre point quelconque : la dernière de ces relations est contenue dans un théorème de Feuerbach (Untersuchimg der dreieckigen Pyramide, p. i5), qui a été reproduit par Cayley [Camhr. Math. Jour.^ II, p. 268) et par Luchterhandt [Journal de Crelle^ XXIII, p. SjS). Ces mêmes relations ont été déduites des principes du calcul barycentrique par Mobius [Journal de Crelle^ XXM, p. 26). \oici la méthode de Cayley, fondée sur l'emploi des déterminants :

Supposons que les points A. B, C, D d'un cercle soient donnés, par rapport à un système d axes rectangulaires, dont l'origine est O, par leurs coordonnées (x, )'), (a:,, j,), (.r,, j's), (Xj, jKs). On a, comme on sait.

x'' H-; v' = <7 -h bx -\- cy, x] -\- y'\.= a -\- bx, + cy,.

.r- H-.r j :^ (7 -f- bx- -{- r)>, et par suite {§ IX, 3)

Le développement de ce déterminant, d après le §111, 6, donne, en ayant égard au § X\I, 5,

OA- . BCD . — OB- . CDA -f- 0C= . DAB — OD . ABC = o

En construisant OP perpendiculaire au plan du cercle, et ajoutant à l'équation précédente l'identité (§ XVI. 5)

OP'(BCD — CDA -I- DAB— ABC) i:r o,

il)

il vient

SECOJNDE PARTIE, ^ XVUI.

(IV) PA^ . BCD — PB^ . CDA -\- PC^ . DAB — PD^ . ABC = o,

P désignant un point quelconque de l'espace. On a en particulier, lorsque P coïncide avec D,

DA\ BCD + DB^ CAD -f- DC . ABD = o.

Soient donnés pareillement les points A, B, C, D, E d'une sphère, rapportés à un système d'axes rectangulaires, par leurs coordonnées [x, y^ 2), etc. . . Des équations

.x^ -+- j' H- z' = o -h é^ -h cj -h fiz,

^;-hyl+z]

-{- h.ri,-{- cj,- + dzi.

il résulte

En développant ce déterminant (§ XVI, 6), il vient

OAV BCDE -h OB .CDEA-I- OC'.DEAB + OD^EABC

:vi

OE^ABCD = o,

O désignant un point quelconque de Tespace. D'après les notations adoptées au § XVI, 7, on a

fx, OA' 4- fx, 0B= + p, 00 + fA OD' = OE^ ;

c'est-à-dire que, sif;., |Lt,, f/.2, p.., sont les coefficients coordonnés de E par rapport à la pyramide DABC, alors, pour tous les points O d'une sphère décrite du centre E, la quantité f/OD^ -f- (Xj OA^ -t- [i^OW -+- f/aOC^ est constante (Feuerbach). On a en particulier

AB^ . CDEA -+- AC= DEAB -+- AD' EABC + AE^ ABCD = o, f/,DA^ M- p,DB= -f- p.3DC= r= DE^

APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS. lin

En multipliant les déterminants (III) et (V) respectivement par

et par

x'' -\- y- -{- z- , —IX, —27,

I' •^4 + ri+2;^-, — 2X,, — 2 J<, — 2 2j

on trouve (§ M, 3)

don . . . d,s

et

doo . ■ ■ d^-

(ho ■ ■ • du

«n faisant, dans le premier cas,

d,, = x-'j- y--\-x' -{-j- —2x- —27- =0, ^01 = X- -+-y- -h x] + y'\ — 1XX, — 2 rj, = AB-, Jgj = X- + j>-' + .r r; + j';; — 1 xx, — lyy^ = AC, etc

et dans le second cas,

r/oj= j;^4- j^H-z^ -Hx' -t- j' -1-2- — 2.r' — 2j' — 2z^ =0, a^, = x^-^ r'^-\-z^ -[- x--i- y] -{-z- — -ixx. — y.yy, — 23z, =AB% etc

Par conséquent l'équation annoncée entre les distances mutuelles de quatre points d'un cercle sera (Cayley)

O ^01 do:. do do, O rf,2 d,

(vii;

do2 d,2 o r/o,

<f(ij r/n r/o i O

^, t désignant le carré de la dislance du i'''"' point au A""'"". L'équation analogue entre les distances mutuelles de

aaS SECOJNDE l'AUTlE, ^ XVIIl.

fiuq poiiiis d'une sphèr(î sera (Cayley)

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