PREMIERE PARTIE, § H

I Oy ûTa «3

O bi bt bi

o c, Cj C3

rf, di di

6. 11 s'eusuit réciproquement que tout déterminant peut être mis sous la forme d'un déterminant d'un degré plus élevé. Par exemple,

On.\ • • ^n,t

I ^«+1,1 • • '^«-1-1,11 O «1,1 . . .fl|,„

O ûn,i . • *^n,n

I tt/t+i^n'^x ^n+7,\ • • «^

et ainsi de suite. Les éléments

qui ne se trouvaient pas dans le développement du déterminant primitif, pourront recevoir des valeurs arbitraires quelconques, et par conséquent on pourra aussi les supposer nuls.

7. Lorsque tous les éléments situés d'un même côté de la diagonale s'évanouissent, le déterminant du système se réduit à son terme principal.

G O O . • . On^n

O «3,3 . . «;mi

O O ...«„.„ «1,1 «2,2 • • • *ht,n •

etc. . . [5]

b bi ^a bi

C| Cj «,3 ^1 ^7 ^3

d dt d^ d^

THÉORIE DES DÉTERMINANTS. l5

§111. — Des termes d'un déterminant ordonné suii^ant

les éléments d'une même ligne.

1. Théorème. — En désignant par ietk deux indices quelconques de la suite i, 2, . . . , /z ; par R le déterminant 2±a^ia,^j. . .a„,„', par a,^;^ le coefficient de Ui^k dans R, c'est-à-dire par ai^^ ai^j, la somme des. termes de R qui renferment Télément ai^j, : le's sommes

«1, 1 a*, I 4- û/,2 a*, j H- . . + fl|,„ a*, n y

auront pour valeur R ou zéro> suivant que i et Xr seront égaux ou inégaux ( * ) .

Démonstration. — Chaque terme de R contient l'un quelconque des éléments

qui forment la z""** ligne horizontale, et n'en contient qu'un. Par hypothèse, û/,i a/,i est la somme des termes de R où se trouve l'élément a,^i,etainside suite. Donc

On trouve de la même manière l'identité

R = a,,,- a,,,- + «2,1 «2,1 -f- . . -h ««,,- a„^,- . Si Ton y fait

ou bien

(*) Cramer, /oc. cit. — Gauchy, /oc. ci/., p. 66. — J^cobi, Det., G. Les identités qui résultentde ce théorème pour le cas de n=3, se trouvent dans Lagrange, Sur les Pyramides, 7 {Mémoires de l'Académie de Berlin, 1773).

l6 PREMIÈRE PARTIE, § III.

on oblient des sommes qui équivalent aux déterminants de systèmes où les éléments d'une ligne sont respectivement égaux aux éléments d'une ligne parallèle. Or ces déterminants s'évanouissent identiquement (§ II, 4).

2. Pour multiplier un déterminant par un facteur, on multiplie par ce facteur tous les éléments d'une même ligne. Réciproquement, on peut placer devant le déterminant lui-même tout facteur commun aux éléments d'une même ligne. Ainsi

pa pb pc

Qy bx C,

tfj b^ Cj

abc pa b r

Ux bi Cl z=: pa^ bt r, a^ bi Cl I pa2 b^ c^

C'est ce qu'on rend évident, en mettant le déterminant sous la forme a a 4- «!«! -+- «j aj , ou sous la forme tia4-6j3-l-cy. On a encore

Hy bl

abc a 6, Cx a bi Ci

— «, bi

I bx Cx

I bi f2

abc

a b Cy

- ab

1 Cx

a b Ci

I Cj

3. Si tous les éléments d'une même ligne sont composés chacun de m termes, alors le déterminant peut se décomposer en une somme de m déterminants. Si l'on suppose

^/,> = ^'i -t Çi -H ''i H- • • • »

^1/2 = /?2 + qi + ^'i -+-•.. ,

THÉOniE DES DÉTERMINANTS.

on aura

«1,1 a,-,, + a/,5 a:,, -4- ... 4- a,-,„ a/,„ = P\ «1,1 4-/>a «1,2 -+-.-. H-/?/i a,> H- <7i «1,1 H- ^2 «1,2 + . . . H- ^n «/,« -h '•1 «iM -f- '•j «/,? -^ . . . -h A-„ a,-,„

Les divers déterminants dans lesquels R se décompose, sont formés de R en y remplaçant les éléments

«l,fl >

par leurs parties respectives

/^i 3 Ptt * • • y Put

On a, par exemple,

rt âf, d'à

b bx b-i

C C, Cj

c' c, Cj

4. La valeur d'un déterminant n'est pas altérée, lorsqu'on ajoute aux éléments d'une même ligne respectivement les éléments d'une ligne parallèle, multipliés par un facteur commun (*) : ainsi

b Pj b y c abc b b c

«i b^ c, -h /? bx bx c, «2 bi Ci b^ bi C2

a + bxPy bxy c,

(voir 3 et 2), et le second déterminant est identiquement nul dans cette expression (§ II, 4).

(*) Jacobi, Journal de Crelle, t. XXII, p. 371.

l8 premiere partie, § iii.

Exemples :

«> ri ^

I ^iji

rt, J2 ^

— rtf, ^ — ^

~fl, y —b — a, yi — b

5. Détermination du coefficient oLi,i qui multiplie l* élément Ui^i dans le déterminant R. — Pour ne conserver que les termes de R qui renferment a;,i, supposons nuls tous les éléments d'une des lignes^ qui contiennent a,^ji, à Texceplion de ai^i lui-même. Substituons ensuite l'unité à la place de a,,^, et nous trouverons le coeflSicîent cherché,

^/— 1,1» . 'Oi—\,k—\ ^i^i,k ^i-i.A-t-i • • • ^i—i.n O . . . O I o . . . o

On,i • • • ^n,k—{ ^n,k ^n,k+l - • • ^n,n

expression qui peut se mettre sous la forme d'un déterminant du degré n — i (§ II, 5). Si Ton prend la /'^'"Migne horizontale pour première ligne horizontale, et la k*^'"" ligne verticale pour première ligne verticale,- il se produit (i — i) 4- (/r — i) changements de signe dans a,^x

alors (i

par conséquent

aa~(-0

rt.i

THÉORIE DES DÉTEEMINANTS. ig

Par un procédé analogue, on déduit de R le coeflScîeni qui multiplie dané R le produit fl^^iû^jj 9 en remplaçant a, ^;i et ar,j par l'unité, et mettant zéro à la place de tous les autres éléments contenus dans les lignes qui se coupent en ^,^t et en a^^,. Ce coefficient se réduit à un déterminant du degré n — 2 ; et ainsi de suite.

6. Détermination de a,^jt p^r les permutations circulaires, — Pour déduire de R un autre déterminant, égal en valeur absolue, et dont le premier élément soit «.^t, en se servant de permutations circulaires , il suffit d'effectuer successivement i — i permutations circulaires des lignes horizontales , et A — i permutations circulaires des lignes verticales, ce qui introduit

changements de signe (§1,5). On a par conséquent (5)

^1+1,*+» • • • ^i-+-l,n ^iH-l,l • • • ^iH-l,*— 1

^i-ij-hl

Dans les déterminants de degré impair, les coefficients a, i peuvent se déduire de «i^t par des permutations circulaires, sans changement de signe. On a, d'après cela, pour la formation des déterminants par voie récurrente.

abc ayb.cy

bt r,

-hrti

bi Ci

-hûj

b c bi c,

aiff^Ci

ch

PHEMIÈRE PARTIE, § lïl

bi Cfdi

bi r, û?2

bs Ci d^

— flf,

bz Cz d^

b, c, di

bi Ct di

bi c\ d.,

7. Détermination de oLi^j, par la differentiation , — Si les éléments d'un système sont indépendants les uns des autres, il suffit, pour différentier R par rapport à O/^^ , de considérer seulement la somme ai^^ a/^j. Or a,^* est indépendant de ai^i ; par conséquent

doij

Le coefficient de [a,^;^ dans R peut donc s'exprimer par le quotient différentiel partiel

Le coefficient de û;^* «^,5 dans R entre dans a,^^ comme coefficient de a,.^,, et peut en conséquence s'exprimer en différentiant a^^^ par rapport à a^,* ^ ce qui donne

rf'R

doi^i dar,s

De ce coefficient on peut déduire celui de a,.,^ a,^j dans R, en échangeant entre eux les premiers indices i et r, c'està-dire en échangeant la i'^'"'' ligne horizontale du système donné avec la r'*'"^ Par là, R subit un changement de

(*) Jacobi, Det., 6.

(**) Jacobi, Det., 10.

THÉORIE DES DÉTEUMll^Âl^TS.

signe ; on a donc, pour le coefficient cherché ,

dar,k diii^s

doi^k da^^s

On déterminera d'une manière analogue le coefficient de tti^i, ûr^s <^i*,^ dans R. On trouve en même temps des rela- . tions entre les troisièmes dérivées partielles de R. Et ainsi

de suite.

8. Si les éléments du système, qui portent les mêmes indices dans Tordre inverse, tels que a^^i^ et a^^iy dépendent Tun de l'autre, il en est de même aussi des déterminants de degré m ,

ak,r ak,s aftj . . .

«/,r ^i.s Ol,t. . .

et Q =

at,i at,k «/,/. . •

dont Tun se forme au moyen de l'autre en permutant Ja suite des premiers indices avec celle des seconds.