PREMIÈRE PARTIE
^'i,3 ^»,a <3f3^, a^^^ a^^^ ^6,Sï
en remplaçant les seconds indices 1,2,^,^,5,6 par 3^2,1 f4'»^9^' Mais le même terme peut aussi se tirer du premier terme , en remplaçant les premiers indices 3,2,1,49695 respectivement par 1,2,3,49^96, Par le premier procédé comme par le second, il y a toujours quatre indices remplacés par d'autres, et dans les deux cas le terme déduit reçoit le même signe.
Deux systèmes dont Tun a pour lignes verticales les lignes horizontales de T autre (et vice versa) ,
^1,1 ûi,î • • • ^1,1»
«î,i <ïj,a. . • a
ont le même déterminant Z zit a,,i ût^j . . . /7„^„. Car chaque terme de Tun des déterminants se trouve dans Tautre avee le même signe.
4. Théorème. — Un déterminant change de signe lorsque, dans le système de ses éléments, on échange une ligne (horizontale ou verticale) avec une ligne parallèle. Un déterminant s'évanouit identiquement lorsque les éléments d^une ligne sont égaux, chacun à chacun et dans le même ordre, aux éléments d'une ligne parallèle (*).
Démonstration. — Soient R le déterminant donné, R' le déterminant qu'on en déduit par l'échange de deux lignes parallèles d'éléments ; R' contiendra les mêmes termes que R avec des signes contraires. Car le premier terme de R'
( * ) Laplace, Histoire de l 'Académie de Paris, 1 772, t. Il, p. 397 . — Vander- MONDE, ibid., p. 5i8 et 5î22.
THÉORIE DES DÉTERlflNAJVTS. II
se déduit du premier terme de R par rechange de deux des premiers ou de deux des seconds indices ; il se trouve donc dans R avec le signe contraire. Tous les autres termes de R^, qui se déduisent de son premier terme au moyen d'un nombre impair (ou pair) d'échanges de termes deux à deux, résulteront du premier terme de R au moyen d'un nombre pair ( ou impair) de ces échanges. Donc tous les termes de R' se trouvent dans R avec le signe contraire, c'est-à-dire qu'on a R' = — R.
Si les éléments qui composent les deux lignes parallèles sont respectivement égaux dans le même ordre, alors, par l'échange de ces deux lignes, R se changera en — R : or le système des éléments n'est pas altéré par cet échange, et par suite — R = R: donc R= o, quelles que soient les valeurs des éléments.
Par exemple, on a
«/j,2 «/i,3 • ■ • «fl.n «/l.l
«2,2. • . «2,/i fl-,,l l
«1,1 «2, a» • • fh,n
«/i,l «n,î • • • «n,ii
En g'énéral, si /, A, /, . . . , ainsi que r, 5, /, . . . , désignent
12 PREMlkilE PARTIE, ^ ^^'
des permulations données de i , 2, . . . , /i, ou â
^/,r ^i,s ^i,t • • • ak,r ait,i ak,t. . .
^s.i ^s.k f^sj' • • «M ^/,* «/,/• • •
£ désignant Tunité positive ou négative, suivant que les permutations données appartiennent ou non à la même classe.
5. Théorème. — Si les éléments d'une certaine ligne du système s'évanouissent tous à l'exception d'un seul, le déterminant du système donné se réduit au produit de Télément en question par un déterminant d'un degré moindre d'une unité (*).
Démonstration. — Soit
et supposons que parmi les éléments
^ij« ^i,»* • • ^i,n
tti^i soit le seul diflerent de zéro. Prenons, dans le système donné, la i'""*' ligne horizontale d'éléments pour en faire la . première ligne horizontale, et la A"'"" ligne verticale pour en faire la première ligne verticale, de sorte que, par {i — i)-{-(A — i) changements de signe (4), R se change
(*) Jacobi, Dct., 5.
en
On.k «n.i
OÙ 6 = ( — i)'"*"*. Par hypothèse, les termes de sR dans lesquels le premier des seconds indices est différent de A, s'évanouissent. Donc eR se réduit aux termes qui se déduisent du terme principal
par la permutation des seconds indices i, 2,..., A — i, A-h I,. . ., », à Texclusion de /r; c'est-à-dire, aux termes d'un déterminant de degré »— i (2), multipliés par le facteur a,, il. Ainsi
£ ayant la signification indiquée ci-dessus.
Exemples :
CTs
rt,
Ok
et
