Théorème
le déterminant
En désignant, comme ci-dessus, par R
et par oc/^* le coefficient de a/^t dans R, on a, dans Thypothèse de fl^,, = û,,^ ,
I dK
2 dOi^k
dK
Au contraire, on a, dans Thypothèse de a^^, == de a,,. = G ,
— «/,i et
et par suite, pour n pair,
2 e/tf,,*
et pour n impair.
Démonstration. — Les propositions énoncées relativement à R et à oLi^k résultent des propriétés de P et de Q
trouvées dans l'article précédent [voir^). On a de plus, y > -^ '
(*} Jacobi, Journal de CrellCf t. XII, p. 20. (**) jACOBiy Journal de Crcllc, t. II, p. 35/|.
en verlu de la dépendance entre les éléments correspondants a,,* et (h^i (7) ,
d^ , dak,i
daik dai,k
Mais, d'après la premièrehypothèse, on a
dak,i
-—=1, ak,i=Oti^ky
dtti^k
et par suite
doi^k En vertu de la seconde hypothèse, on a
dak,i
doi^k et par suite (7)
dat^k
Pour n pair, — «i^, = a,^;t ; par conséquent
dûi,
dTi Pour n impair, - — s'évanouit identiquement, comme R
if h
lui-même, et Téqtiation
dK
doi^k
donne le résultat déjà obtenu , a/,;^ = a^^i .
10, Différentielle d'un déterminant, — Si tous les éléments du système doivent être considérés comme des variables indépendantes, alors, en vertu de l'équation (7)
dK
dai^k
!24 PREMIERE PARTIE , § lit.
on a, pour la difiërentielle complète, /
les tenues de cette somme se déduisant de a.^^ dui^k 9 en remplaçant i et k successivement par tous les indices depuis i jusqu'à n.
Soient, par exemple, j^i ,j^s, . . . , j^„ des fonctions de x\ désignons le /r*""" quotient différentiel de j^, pary^^j-, formons le déterminant
x^ y^ • • • Xn
X\,\ yi,\ • • • Xn.x y ^,n — I y^,n—\ • • • yiitn-'X
et désignons par >3/,jt le coefficient de fi^i dans R„. On a, d'après la formule que nous venons d'établir,
dx
dx
La somme (1)
s'annule pour toute valeur de k inférieure k n — 15 il reste, par conséquent,
rfR
H. Théouème. — Si Ton a R= 2iha,,i aj^^. . .«„,„ et
(*) Jacobi, Det„ 6.
(**) Abel, Journal de d'elle, t. Il, p. 22. — Malhstèn, Journal de Crelle, t. XXXIX, p. 91.
THÉORIE Des DÉTERMINANTS. ^5
que oti^j, désigne le coefficient de a,-,* dans R^ si de plus B = 2 d= ij^i ij^a . . . fe„i,„i, et que jS,,* soit le coefficient, de réiément i/^i dans B , si enfin on forme au moyen de B de nouveaux déterminants B,-, en remplaçant les éléments de la première ligne verticale i,,!, ig,!,. . . , ftn-i,i P^^r les éléments flj,,, «s,o- • .5 û„i^;, on aura identiquement
««,1 B,4- a„,5 B2 -4- . . . -4- OLn,n B„ = O (*).
Démonstration, — D'après (i), on a les identités
«11,1 «1,1 -f-art,2«i,2 +•-.-+- «ff,!» «l,n =0,
En multipliant ces équations respectivement par les quantités
et faisant la somme des équations ainsi obtenues, la quantité a„^; aura pour coefficient, dans cette somme, Texpression
B,==fl|,i Pi,i -h «2,* ^2,1 -+-•..+ On-\,i p/i-i,i,
qui se déduit du déterminant
* B = ô,,, Pi, I -4- ^2,1 ^2,1 -+-..• -h ^/i~i,i P/i~i,i,
en remplaçant les éléments èi^i, ig,!?'-»? ^«-1,1 parles éléments «j,,, a^,,, . . ., a„,,,.
(*) Bezout {Équations algêhriques, 1779, § 220) a indiqué les cas les plus simples de cette identité.
