PREMIÈRE PARTIE. § IV

Exemples. — En écrivant, pour abréger,

(abc) , [abcd)j . , . ,

au lieu de

Oi

bi Ci

ai

b^ Ci

Oi bi Ci di

a-i bi Tj di

fla ^3 C3 fi?3

(bc) [ad) + (ca) {bd)-^-{ab) (cd) =z o (*), (bcd) (aef) — (cda) (bef) 4- (dab) (ce/)— [abc) (de/) (bcde) (a/gh)^(cdea) (bfgk) 4- (deab) (c/gh)

(eabc) (dfgh) -f- (abcd) ( e/gh) = o , etc. . . .

Remarque, — Les propositions géométriques correspondantes (voir ci-dessous, § XVI) ont été établies par Monge, 1809 (Journal de T École Polytechnique, XV® cahier, p. 68), et, depuis, par Mœbius (Baryc. calc,^ §§ 166 et 171). Le théorème précédent est contenu dans la décomposition générale du produit de deux déterminants, que Sylvester a donnée (Philos. Mag.^ i85i , t. II, p. 142 \ compar. i852, t. II, p. 342)) et dont Faà de Bruno (Journal de LiouMle, t. XVII, p. 190) a publié une démonstration très-simple.

§ IV. — Décomposition d'un déterminant en une somme de produits de déterminants partiels.

i . Théorème. — Partageons les lignes horizontales d'un système donné de n* éléments en groupes, dont le premier

C^) Celle idenlité se Irouve déjà, d'après l'indication de Vandermonde (/oc. cit., p. 527), dans les Mémoires publiés par Fonlaine, 1764 (au commcncemcnl de sa Seconde méthode du calcul intégral, p. 90).

THÉORIE DES DÉTf:RMINÂ^TS. 27

contienne les a premières lignes horizontales, le deuxième les (3 suivantes, le troisième les y suivantes^ et ainsi de suite, de sorte qu'on aita-f-j3-f-y4-... = 7i^

Formons , avec une combinaison quelconque de a lignes verticales du premier groupe (rangées suivant Tordre ascendant), le déterminant A de degré a;

. Parmi les lignes verticales du second groupe, laissons'^ae » côté les prolongements des lignes verticales qui entrent dans A, et avec une combinaison quelconque de (3 des lignes verticales restantes, formons le déterminant B de degré (3-,

Parmi les lignes verticales du troisième groupe, laissons de côté les prolongements des lignes verticales qui entrent dans A et dans B, et formons^ avec une combinaison quelconque de y des lignes verticales restantes, le déterminant C de degré y ; et ainsi de suite 5

Parmi les lignes verticales du dernier groupe , laissons de côté les prolongements des lignes verticales qui entrent dans A, B, C, . . . , et formons, avec les lignes verticales restantes, un déterminant de degré n — a — j3 — y. . . . En formant le produit ABC ... de toutes les manières possibles, et donnant aux divers produits le signe ^- ou le signe — , suivant que la série de tous les seconds indices est une permutation des seconds indices donnés appartenant à la première ou à la seconde classe; la somme de ces produits est égale au déterminant donné (*).

Démonstration, — Un produit tel que ABC. . . renferme ceux des termes du déterminant qui se déduisent du terme principal

en laissant invariables les premiers indices, et partageant au contraire les seconds indices en groupes (rangés suivant

(*) JacobIj Ih't., 8, d'après Laplace, toc. cit.j p. 29/i.