PREMIÈRE PARTIE, § VIII
Les termes <a.,jiB, de S, et a^^iB^ de Si, sont égaux ejt de signe contraire, puisque a^,, = — ai^^ ; par suite S et Si sont aussi égaux et de signe contraire.
Si les indices i et k sont égaux, S| est égal identiquement non-seulement à — S, ipais aussi k S; dope S est identiquement nul.
3. L'expression dont le carré est un déterminant de l'espèce que nous considérons ici^ peut sans ambiguïté être désignée, ainsi que le fait Jacobi, par la série des indices des éléments de son premier terme, laquelle est identique avec les séries des premiers et de$ seconds indices des éléments du déterminant. Le symbole
désigne, d'après cela, la somme commençant par le terme principal ûj^, ûts,*» • • <ïn-i,n) et dont le carré forme le déterminant
toujours dan? l'hypothèse où Ton a a^^, == — a/^^ , a,^, = o, et n pair. Il résulte du théorème précédent que l'on a
(i, 2, 3,..., /?)={3, 4» ij 2,.,., n) = —(2, 3,..., «, l)=--(2, I, 3,..., «),
etc. On peut donc prendre pour ^R , en général, soit
soit encorie *
ou toute autre permutation de ces indices, puisque ces différents symboles ne peuvent être qu'égaux au signe
près.
De même, V^ peut'êire représenté (1) par une permu-
tation quelconque des indices 2,3, . . • , n, à l'exclusion de z, tant jque l'on considère cette expression isolément. Cependant, comme on doit avoir, en ayant égard aux signes^
et par conséquent.
il faut donner aux termes de cette somme des signes déterminés, de manière que le signe de la somme reste seul indéterminé.
4. TnÉORÈME. — Pour le développement successif de l'expression (i, 2,..., n), on peut se servir de l'identité
-+-«i,»(« -l-i ,... /i, 2,..., I — 1) + .. . 4- ai,„(2, 3,..., n — 1),
la suite des indices entre parenthèses se déduisant de 2, 3, • . . , n par des permutations circulaires, en excluant chaque fois Tindice qui se trouverait le derhier (*).
Démonstration, — En posant ( 3 )
V'au = (— 0'(^-» 3,. . . ; / — I, /4- I,.. , n), et de même
V^ = ( — 1)*(2, 3,..., X— I, /•-+-!, .., «), le produit { — 1)'"'"*(2, 3,..., / — I, /-hi,..., n) (2, 3,..., A' — I, A-+-I,.,., n)
{*) Jacobi et Cayi^et {loc, cit.) ont employé cette îdentitc comme définition de (1,3) ... ; n).
58 PREMIÈRE PARTIE, § YIII.
se composera des mêmes termes que a.^jt oo qae — »i^i , puisque a,^, ai^i est identique arec al^. Diaprés la notation de Vandermonde, on a (§ III, 5)
ai.*=( — 1/-+^
la suite des premiers indices ne contenant ni i , ni i, et celle des seconds indices ne contenant ni i ni k. En désignant par
les /i — 3 antres indices qui font partie ir la fins des deux suites, on sait (§11, 4) que le rapport
est égal à une puissance déterminée de — i. Ce rapport est le même que celui du produit
(2,3,...,/— i,j-|-i, ..../î)(2,3,.... A- — I, A -{-if,., , n) au produit
Donc le déterminant
et le produit
ont la même valeur absolue. Le premier terme
«*,/) Op,^ aq,r Or,, . . . ««,, «f ,i
du déterminant,' et le premier terme
du produit sont de même signe 5 donc le déterminant et le
THÉORIE DES DÉTEHMiKÂITTS. 5g
produit sont aussi de même signe. Il s'ensuit de là que
^ûf/,iV«*,t coïncidera aveca.-^ten grandeur et en signe, si l'on pose
V'a,-,i=(--i)'(2,3, . . . , /— I, i-h I, .. .,«), ou, après i — 2 permutations circulaires (3) ,
^(Xij = (/ -f- I , ...,«, 2, ..., / — I ).
Par cette substitution, on obtient { l )
pour une valeur de v^R cpie nous devrons désigner par
comme on s'en assure par l'identité des termes initiaux de ^i,« (3, . . .,/i) et de (i, 2, . . . , jî).
Exemples :
ûii , . » a
un ... 044
= (l, 2,3,4)^= («12 «34 -f-fl.a«42.-H«l4«w)'-
«il • . • «.
f«ii(3,4>5,6)-f-fl,3(4»5,6,2)-f-...
«12 «34 «5« -î- «12 «35 ««< 4- «12 «3C «45 -f- a, 3 «45 «02 4- «m «46 «25 H- «13 «42 «5« = { -4- «14 «5(» «23 -f- «14 «52 «3« -f- «Il «53 ««2 / • -h «15 «62 «34 4- «I.S «63 «U 4" «15 «6i «23
■+- rtt,e «-23 «IS -f- «l« «2< «.>3 -+-«!« «25 «.M
PREMIERE f
et
= {ad—bé-hc/)\
= {ad ^ be -h c/)\
5. Le coefficient de a,,;^, dans le déterminant R que nous considérons ici, est (§ III, 9)
2 doi^k doi^k
Le coefficient de a,,, dans R, lequel est exprimé généralement par - — ) s'évanouit dans ce cas (§ HI, 9). Or, si Ton
ordonne R par rapport aux éléments d'une ligne horizontale, on a (§ m, 1)9 en divisant par le facteur commun v/R",
^R = ai,, ^ h ... 4- û,> -^^- '
dak,x
dai^a
d\/Rf,.
dspk
formules où l'on devra supposer -5 — = o.
En posant (3)
=r ai,x (2, . . . ,w) -f-^/^aCS, ...,«, i)-|-- . .>
(* ) Jagobi, loc. cit.
THÉORIE DES DÉTERMINANTS. 6t
on trouve
i et k étant exclus du cycle des indices.
6. Théorème. — En désignant parD la valeurque prend le déterminant R des éléments quelconques a^^i , .,.,«„„, Iprsque les éléments
s'annulent, et, de plus.
Par D, la valeur que prend D, lorsqu'on supprime la ligne horizontale et la ligne verticale qui cpntiennent l'élément a,-,, 5
Par D,,i la valeur que prend D, lorsqu'on supprime les lignes qui contiennent les éléments a,^, et a^^j^; et ainsi de suite ^
On a alors
en remplaçant successivement i par toutes les valeurs I , a, . . . , n ; puis 2', k par toutes les combinaisons binaires de ces valeurs; /, k^ l par toutes leurs combinaisons ternaires, et ainsi de suite [*).
Démonstration* — Les termes de R qui ne contiennent aucun des éléments ai,i,a,^i, ..., coïncident avec les termes de D. Les termes de R, qui contiennent un seul de ces éléments, coïncident avec les termes de la somme
(*) Cayley, Journal de Crelie, t. XXXVIH, p. 98
