Théorème. — Un déterminant de degré pair

ff», I » • • ^11,1

dont les éléments sont tels, que l'on ait

as: = o,

(*) 3AC0BI, Journal de d'elle, t. XV, p. io4 et ailleurs.

(**) Un pareil système et son déterminant ont été appelés par Cayley

est le carré d'une fonction rationnelle des éléments [*),

Démonstration, — En désignant par R' le coefficient de ai I dans R, et par a, i le coefficient de â, ^ dans R', on a (S V, 2)

R = «I,, R' — 2 û.,1 «t,* 3ti,4,

I et A recevant les valeurs 2,3,..., «.En vertu des hypothèses faites sur les éléments, on a identiquement

R' = o(§ra,9), ai,k = ai,i==s/^^ij^i (§VII,5).

Si l'on dételrmine maintenant les signes des radicaux de telle sorte que ^«"^ ^oci,k ait pour valeur a,^i ( et non — «/,*), il vient

ou, puisque la seconde somme ne diffère pas de la première,

et par suilc

est une somme de n — i termes. Or a,^, est un déterminant de degré n — 3, où la série des premiers indices est la même que celle des seconds, et se compose des nombres

{Journal de C relie, t. XXXII, p. 1 19; t. XXXVIII, p. qS ; t. L, p. 'igg) gauches (skew, gobbo ) .

(*) Catlby, Journal deCrellcy t. XXXVllI, p. gS. La démonslration donnée dans cet endroit ne lève pas toutes les difficultés.

54 PKEMIERE PARTIE, § VTII.

u, 3 >...,/», à l'exclusion de z. Diaprés la règle trouvée

poujc la décomposition de y^R , ^a,,, peut se décomposer en n — 3 termes, dont chacun est le produit d'un élément par la racine d'un semblable déterminant de degré n — 4? et ainsi de .suite. Or la racine carrée d'un semblable détermînapt du sçcond degré est rationnelle, car la racine de

est ici a^^^ ou a^,». D'après cela, v^ se présente sous la forme d'une somme, que l'on prendra positivement ou négativement, et composée de

termes 5 "chacun de ces termes est un produit de - éléments,

dont les indices sont tous différents entre eux, de sorte que l^ensemble des premiers et des seconds indices forme une permutation des nombres i , 2 , . . . ,/z.

Pour premier terme de cette somme, on trouve

puisque, d'après la règle précédente, on obtient successivement, en effectuant le développement,

etc. Et en effet,

n (^1,2 '''3,* • • • f^tt--\,nY=^ ( — U *'^i,2 ^2,1 ^2>^,i ('i,^ • ' . ^n~i,M ^n,n—l

THÉORIE DES déteuminânts. 55

est un terme positif du déterminant R, parce que les permutations

appartiennent ou n'appartiennent pas à la même classe, selon que - est pair ou impair.

. 2. Théorème. — L'expression

dont le carré est égal au déterminant R considéré ci-dessus, prend la valeur opposée quand on échange entre eux deux indices, et s'annule idetitiquement quand deux indices sont égaux entre eux (*).

Démonstration. — En désignant par Si ce que devient S lorsqu'on y échange entre eux les indices i et A, S] sera ce que devient le déterminant R par l'échange des mêmes indices. Or i et k entrent dans R tant comme premiers indices que comme seconds indices, et partant R n'est pas altéré par cet échange (§ H, 4 ) j on a donc SJ = S*. Par suite de cette identité, les termes de Si sont égaux respectivement aux termes de S, et sont tous de mèmejs signes ou tous de signes contraires, suivant qu'un terme de Si et son égal dans S sont de même signe ou de signe contraire. Or, en désignant par Oi^i B la somme des termes de S où entre l'élément ai^^^ 6 ne contiendra que des éléments ayant leurs deux indices différents de t et de A (1); par conséquent, par l'échange de i et de A, ai^i B se change en a^^i B.

(*) L'expression S a été introduite par Jacobi (Journal de Crelle, t. H, p. 354 i XXIX, p. 336), qui s'en est servi en traitant de la méthode d'intégration de Pfaffy et Gayley {he. eit.)Vi désignée récemment sons le nom de Pfqffian. Ses propriétés ont été énoncées par Jacobi sans démonstration, et sans la relation fondamentale S' = R.