Si les éléments du déterminant R soi>t tels, que Ton ait

on aura (6) la quantité

étant un déterminant partiel du degré m , dont les éléments sont assujettis aux conditions

et £ Dm désignant la somme des déterminants qui se déduisent de Dm , en remplaçant les indices i , % ^ • . . , par toutes les combinaisons m k m des nombres de la suite 1,2, . . . , n. Pour m impair, D,„ est nul {§ III, 9) 5 pour m pair, on a (3)

et par suite 2 D,„ est la somme de ( \

carres.

( * ) Cayley, loc. cit. Compar. Journal de Crelle, t. L, p. 399.

THÉOKIE DES DÉTERMINANTS.

Exemples :

«31 «sa ^

=zz'^z(a],^a],-ha\,),

z a,i fl,3 «14

«ai *2 «23 «24

64 SECONDE PARTIE, § fX,

S IX. — Résolution d^un système d'équations linéaires.

i , Théorème. — Les n inconnues Xi , Xj , . . . , x„ étant données par les n équations

si l'on pose

et que l'on désigne par a.^x le coefficient de ai^i dans R, on aura

Cette expression se déduit de R par la substitution de iii, u, , . . ., i/„ au lieu de «j^i, «,^4, . . ., a„^,. Le déterminant des coefficients des inconnues s'appelle le dètemU" nant du système d^ équations linéaires (**).

Démonstration. — En multipliant les équations don-

(*) Cette résolution a été indiquée pour la première fois par Leibniz, puis découTerte de nouyean par Cramer (voir § I et II). (**) Jacobi, Det.,7.

nées respectivement par

et ajoutant les équations obtenues, on obtient pour le coefficient de Xjt,

et , pour le coefficient de x, ,

«i,iai,*'T-«î,iaa,*-f-. . •-f^«,taii,it=0 (§111,1).

2. Si le déterminant du système linéaire s'annule, leà inconnues prendront en général des valeurs infinies, c'estâ-direque les équation s données seront incompatibles, et, par suite, qu^elles ne sont pas indépendantes les unes des autres. La contradiction entre les équations données sera levée^ si Ton introduit la condition

qui est vérifiée pour toutes les * valeurs de k^ puisque les rapports ax^jc l ot^^k ! • • • sont indépendants de h (§ VII, 5). Alors le système des équations données est indéterminé, et' chacune de ces équations peut se déduire des autres.

3. Si les quantités Ui , i/^ , . . . , i/„ s'annulent,' les inconnues s'annuleront aussi en général, c'est-à-dire que les équations données seront incompatibles, et, par suite, qu'elles ne seront pas indépendantes les unes des autres. La contradiction entre les équations données sera levée dans ce cas par la condition que le déterminant R du système linéaire s'annule. L'équation

s'appelle la résultante des équations linéaires i/, = o,

(*) D'après fiezout. Histoire de l'Académie de Paris, 1764, p. 288. .^

Si la condition R = o est remplie, le système est indéterminé, et les équations données sont satisfaites par la proportion

{'désignant un indice quelconque (§ VI], 5). Car, en vertu de l'équation

qui a lieu, non-seulement pour des valeurs différentes de i et de k (§ III, 1 ) , mais encore, par hypothèse, pour i = ky on a, pour chaque valeur de k prise dans la suite i , 2, . . . , /i,

^*,t *i -+- <?*,2 j?, -h ... -h ak,n «« = o.

Exemple. — Les équations

a.T-{-by-\'Cz — o, ou a u-

Oi X -+■ bijr -^ Ci z — o, /i, w -f-

6|P -f- Ci — 0,

/îa-r-f- ^jX H- Cj 3 = o,' a^u