ï <» -h Ta

sont compatibles, si Ton a

abc

fli bt c,

a, 6a Cj

A cette condition, on a

6jC2

flTa^a

biC,

C2 tf,

mi ■ ■

biCi

Cx lly

(*) Jacobi, Der, 7.

4. Si les coefficients du système considéré dan« l'art. 1 sont tels, que Ton ait

et si n est pair j alors^ d'après les propositions et les nota-^ lions du § Vm, on a la solution plus simple

(— l)*(i,2, .. .,«).r* = «, (2, ...,^ — I, X-hl) ..., ») -4-tta (3, ..., X— t, ^-f- !,..,,«, t

En effet, en multipliant les équations données respectivement par

(1, ... /• — I, Xh-i, ..*, « — î),

et ajoutant les résultats, cr* se trouve avoir pour coefficient

«,,4 (2,..., /t) H- «a,* (3, ...,/?, i)-f-. . .-H<in,A(i,...,/î— 1);

et la valeur de cette expression, en remplaçant a^^j, par — û»,i î ^*,* ps^r — ^*,î 9 6^C') peut être représentée par

— (^, I, . . ., A — I, k-hr$ •..>'*)

(§ VIII, 4). En remplaçant encore l'indice k successivement par I, 2, . . .,Xr — i, on obtient, pour le coefficient cherché (§ Vin, 2),

Au contraire jc, a pour coefficient, dans la somme en question,

expression identiquement nulle (§Vin, 2).

(*) Jacobi, Journal de Crel le, t. II, p. 356.

5. Si les coefficients du système linéaire sont tels, que Ton ait

Oi,k = — û*,i , «1,1 = o

et que n soit impair, on a alors R = o (§111, 9) , et les équations données ne sont compatibles que si Ton a (2)

«1 «1,4-4- «2 «2,*-!-. . .H-a„a„,it = o.

A cause de l'identité a.^i = v^a,,, ai^i (§ VU, 5) , celte condition se réduit à la suivante ,

OU, en substituant la valeur

V/a,-,,- = ( I -h I ,/f, ly ..., I— l) (§VIII, 4),

Exemple. — Des trois équations

— ex yk- -\- az=zgy bx — ay ik: =.hy

une quelconque est la conséquence des deux autres, si Ton a

«/-f- hg + ch = o :

sinon, chacune est contradictoire avec les deux autres.

Remarque, — Si les coefficients du système linéaire (4) sont tels, que l'on ait ai^j, = a *^S on obtient encore dans ce cas une solution parliculière ['yo/r ci-après, § XII, 5, 6].

(*) JacobVi loc. cil.

§ X. — Théorèmes sur les équations différentielles

linéaires,

1. Les coefficients d'une équation différentielle linéaire de l'ordre n^ qui ne contient pas de terme indépendant de la fonction, peuvent, comme Libri l'a remarqué {*), se composer au moyen de n intégrales particulières de Téquation, de la même manière que les coefficients d'une équation algébrique se composent avec ses racines. En effet, si l'on désigne par j^i, J^«, • • • » J^n des intégrales particulières de l'équation différentielle linéaire

j^^*^ étant le quotient différentiel d'ordre i de la fonction j^, et les quantités ao, a^..., a„ étant indépendantes de y, j^', . . . 5 formons avec les. i"% a®% . . . , n'^'^' quotients différentiels de j"i, j^j, . . . , le déterminant-

fi^^ désignant le fe**'"* quotient différentiel de yi. Si l'on désigne maintenant le coefficient de ji^i dans B,^ par

>7,,* — -t;^ (§ III, 7), on aura

Démonstration, — On a, par hypothèse, pour déter-

(*) Journal de Crelle, t. X, p. 189. Les coefficients ont été déterminés par Libri d'une manière moins simple. Libri a bien indiqué la méthode directe, potir leur détermination, mais il ne l'a point développée^

C***) Rrioschi, De/., p, 81 (p. 96 de la trad. franc.).

luiuer les coefficients a^y a^^ . . . ^ an^ le système d'équations linéaires

«0riH-«i/i,i 4-. . .-f-^«-i/i,«-i=— ««/i.

«•rii-+-«ir».i-^- • . + <ïii-i /n,*!-! = — ««r».

par la résolution duquel (§1X, 1) on trouve pour a, la valeur que nous avons donnée. La détermination des coefficients ne réussit pas, lorsque les intégrales particulières données dépendent les unes des autres, de telle façon cjue ronaitR„ = o(§IX, 2).

% Le déterminant R„ peut s^ exprimer au moyen des coefficients dey^"""*^ et de y^"K On a, d'après les supposi-r ^on$ admises,

Le second membre de cette équation a pour valeur -7-^ (§ III, 10) ^ on a par conséquent