PREMIÈRE PARTIE
§ L — Partage des permutations ^éléments donnés
en deux classes.
1 . Les éléments d'un arrangement dont on veut déduire les permutations se distinguent par leufs numéros d'ordre ou indices. Un élément est dit plus élevé qu'un autre, lorsqu'il a un indice plus grand. La combinaison d'un élément d'une permutation avec un des éléments suivants s'appelle, relativement à l'arrangement primitif, un dérangement (*) lorsque le premier élément de la combinaison est plus élevé que le second. Par exemple la permutation a^ ai, a^ a^ contient quatre dérangements, a^a^^ ^4^89 ^4 ^n ^^ ^1-
Les permutations d'éléments donnés ont été divisées par Cramer en deux classes, dont la première renferme les permutations où il se trouve un nombre pair de dérange-
(*) Cramer, Analyse des lignes courbes, 1700; Appendice, p. 658.
2 PAEMIËKE PARTIE, § I.
meiiis, et la secoiiile los .permutations qui présentent un nombre impair de dérangements.
. 2. Théorème. — Lorsque dan» une permutation on échange un élément avec un autre, tous les éléments restants conservant leurs places, le nombre des dérangements existants dans la permutation varie d'un nombre impair (*).
Démonstration. — Soient g ex. h les éléments que Ton veut échanger, h le plus élevé des deux, A le groupe des éléments qui précèdent g^ B le groupe des éléments compris entre g^ et A, C le groupe des éléments qui suivent h. La permutation donnée étant ainsi
et celle que Ton veut former étant
AAB^C,
la variation cherchée du nombre des dérangements provient de la position que g et h prennent l'un par rapport à Fautre, et par rapport aux éléments contenus dans B.
Soit |3 le nombre des éléments du groupe B, parmi lesquels il y en a |3, plus élevés que g^ et ]3t plus élevés que h. Alors, outre les dérangements qui existent dans B, il s'en trouvera, dans Varrangement ^BA. j3 — |3i-j-|3j, parce que g est plus élevé que |3 — /Sj éléments de B, et qu'il y a, dans B^ jSs éléments plus élevés que h. Au lieu de ces
( *) là division dos permutations fondée sur ce théorème est due à Bezout {Butoire de l'Académie de Paris, 1764, p. 292)» et a été démontrée pour la première fois par Laplace dans la même colle<;tion, 1773, t. Il, p. 294; elle Ta été ensuite plus simplement, de la manière que nous donnons ici, par Mollweide, Demonstratîo élimina tionis Crame rianœ y Leipzig, 181 1, §9, et par Gergonne, Annales de Halhémaliques, t. IV, p. i5o.
THÉORIE DES DÉTEAMtNAMTS. 3
dérangements, rârrangetnent hhg^ formé par rechange mutuel de g et de A, présentera P — ^^ + 1 -f- Pi dérangements , puisque h est plus élevé que ^ — jS^ éléments de B, que de plus h est plus élevé que g^ et qu'enfin il y a encore /3i éléments de B qui sont plus élevés que g* La différence de ces nombres,
P — p2 -+- I -f- P, — (P — p, 4- PO = «P, — 3p,-f- I,
est impaire. c. q. f. d.
3. Par des échanges successifs de deux éléments, on peut obtenir l'une après l'autre toutes les permutations d'un arrangement donné. Les dérangements que l'on rencontrera dans cette suite de permutations seront alternativement en nombre pair el en nombre impair (2). Comme le nombre total des permutations est pair, il existera autant de permutations de la première classe, contenant un nombre pair de dérangements, que de permutations de la seconde classe, contenant un nombre impair de dérangements. Ces permutations se déduisent de Farrangement donné, les premières au moyen d'un nombre pair, les secondes au moyen d'un nombre impair d'échanges entre deux éléments.
Deux permutations appartiennent a la même classe, si elles peuvent se déduire l'une de l'autre, ou se déduire toutes les deux d'une troisième^ au moyen d'un nombre pair d'échanges entre des éléments pris deux à deux.
4. Démonstration analytique du théorème (2). — Pour classer les permutations, formons dans chacune d'elles les différences des indices correspondant aux éléments, en soustrayant l'indice de chaque élément de celui de l'élément suivant. Une permutation contiendra autant de dérangements qu'il y aura de ces différences qui seront négatives (1).
