PREMIÈRE PARTIE, § I

Le produit de ces différences est une fonction alternée des indices (*) r/ui prend la valeur opposée par rechange de deux de ces indices.

Démonstration (**). — Chaque différence en particulier, dans réchange de deux indices, conserve sa valeur absolue; le produit conserve donc aussi sa valeur absolue. Si l'on désigne par i et k deux indices déterminés, et par r et 5 deux autres indices quelconques \ par

les produits des facteurs dont les formules générales sont

si l'on désigne enfin par s l'une des quantités ■+- 1 Ou — i, le produit des différences à former pour une permutation donnée pourra se représenter par

Si Ton échange maintenant i et k entre eux, les produits

n(r— i)(r— A-) et n(r-.j)

ne changeront pas, et k — i prendra la valeur opposée. Donc le produit complet prendra la valeur opposée.

Puisque, par l'échange de deux éléments de la permutation, le produit en question change de signe , il s'ensuit que le nombre des différences négatives, et partant aussi le nombre des dérangements de la permutation, varient d'un nombre impair, comme on l'avait déjà démontré ci-dessus.

(*) Fonction alternée, suivant Caiichy {Journal de l'École Polytechnique, XVII* cahier, p. 3o, et Analyse algêhriquCyX. III, p. 3). — Functio alternans, suivant Jacobi {Journal de Ocelle, t. XXII, p. 36o).

C** ) Jacobi, Det., 2 {Journal de Crelle, t. XXII, n" 1 1).

THÉOniE DES DÉTERMINANTS. 5

5, L échange des éléments d'un arrangement est appelé permutation circulaire y lorsque chaque élément est remplacé par le suivant, et le dernier élément par le premier.

Par une permutation circulaire de tous les éléments^ on tire (Tune permutation donnée une autre permutation qui appartient ou n'appartient pas à la même classe^ suiv^ant que le nombre des éléments est impair ou pair. Car la permutation circulaire de n éléments peut s'obtenir en échangeant le premier élément avec le second, puis avec le troisième, etc., ce qui fait ainsi n — i échanges d'éléments deux à dettx«

D'une permutation donnée on en peut déduire une autre quelconque par des permutations circulaires effectuées sur des groupes séparés ^éléments. Soient, par exemple,

les indices des éléments dans la permutation donnée, et

les indices des éléments dans la permutation à former. Commençons par le premier élément à déplacer dans la permutation donnée, et remplaçons successivement 7 par 2, 2 par 9, 9 par 6, 6 par 5, 5 par 3, et enfin 3 par l'élément 7 qui a servi de point de départ. On a ainsi séparé un groupe d'éléments sur lesquels on a accompli une permutation circulaire. Maintenant, dans la suite des éléments restants, remplaçons 4 par 8, 8 par 4» ce qui accomplit la permutation circulaire d'un Second groupe d'éléments. L'élément i qui reste encore ne doit pas être remplacé par un autre. D'après cela, la seconde permutation a été déduite de la première par des permutations circulaires partielles.

En comptant pour un groupe particulier chacun des éléments qui, dans le procédé que nous venons de décrire

6 PREMik&E PARTIS^, § I.

pour déduire une permuta lion d'une autre, doivent être remplacés respectivement par eux-mêmes, on a la règle suivante :

Deux permutations appartiennent ou n appartiennent pas à la même classe, sui\Hint que la d^érence entre leur nombre d^ éléments et le nombre des groupes par la permutation circulaire desquels Fune des permutations don-" nées peut se déduire de T autre ^ est paire ou impaire {*). En effet, si les permutations données sont composées de n éléments, et que la seconde se déduise de la première en partageant les éléments en p groupes de «t, a%, a^^. . . éléments, et en faisant subir à chaque groupe une permutation circulaire, ces permutations circulaires pourront s^ effectuer au moyen de

(a, — l)H-(a2 — l) -h (aa — l)-h...

échanges d'éléments deux à deux. Or on a

donc la seconde permutation peut se déduire de la première au moyen de n — p échanges d'éléments deux à deux.

Pour amener les éléments du premier groupe à leurs nouvelles places, il ne faut pas moins de «i — i échanges d'éléments deux à deux, et ainsi de suite. Donc, pour déduire Tune de l'autre les permutations données, il ne faut pas moins de n — p échanges d'éléments deux à deux. Dans l'exemple ci-dessus, on a p = 3, n — p = 65 par conséquent les permutations données appartiennent à la même classe.

( * ) Cauciiy, Journal de l'École Polytechnique, XVII* cahier, p. ^2 ; Analyse nigêhfitjue, Nolc IV. — Jacobi, Det., 3.

THÉORIE DES DÉTEUMEJNANTS.

§ IL — Déterminant cPun système de n^ éléments,

i . Si Ton considère m lignes hori2M>n taies de n éléments chacune, ou, sous un autre point de vue, n lignes verticales de m éléments chacune, pour distinguer en général ces éléments, il est commode de les affecter chacun de deux indices, dont le premier marque le rang de la h'gne à laquelle appartient l'élément, et le second le rang de Télémènt dans sa ligne ( * ) ^ par exemple, on écrira

Au lieu de a,,;i, on écrit aussi a^]^ ou simplement (/, A). Lorsque m = n, la série des éléments

depuis le premier jusqu'au dernier, s'appelle la diagonale du carré des éléments.

2. On entend par déterminant d^un système de /i* éléments, disposés sur n lignes de n éléments chacune, et représentés par a,-^*, i et k recevant chacun toutes les valeurs i y 2 , . • . , Al, la somme des produits de ces éléments pris 71 à /i, de manière qu'il n'y en ait pas deux dans le même produit qui appartiennent soit à la même ligne horizontale, soit à la même ligne verticale. Le premier terme

(*) Cette notation a été employée pour la première fois par Leibniz. Voir sa Lettre a L'Hospilal, du 28 avril 1693, dans les Œuvres mathémntiques de Leibniz publiées par Gerhardt, t. Il, p. 289.