f^PxPia,^ '\-'^fxfzPi A'3«I3 4- 2 /, /3/?2/J

2^4 SECONDE PARTIE, § XVIIC.

et réciproquement

(V) { -/>jVsinarjz = Aj/coSiiH-Aî/a 4- A3/3COS23, ' 2

- i?3 Vsin.r/« = A| /, cos,3 -h A,/, ces,, -h A»/,.

9. La relation entre quatre points A, B, C, D d'un même cercle peut s^exprimer au moyen des propriétés des * angles, des distances ou des aires, qui sont déterminés par les points en question. Diaprés un théorème connu, contenu dans les Éléments (TEuclide^ la dîflérence des angles

ACB — ADB = ou =1 8o«»,

d'où en général,

(I) 2(ACB — ADB) = (*),

lorsque les points donnés sont sur un même cercle, et que Ton prend avec le même signe les angles décrits par des rotations eirecluées dans le même sens. L^angle zéro équivaut à 36o^.

De plus, d'après le théorème de Ptolémée [jélmageste ^ I, 9), on a

en désignant par p^ q^ r les produits des carrés des droites opposées qui joignent les quatre points du cercle A , B, C, D. On tire de cette équation l'équation rationnelle entre les carrés des distances mutuelles de ces quatre points. On peut établir une équation analogue à cette dernière entre

{*) MoEBics, Kreisvenvandlschaft, § XIV .

les carrés des distances mutuelles de cinq points d'une sphère.

On connaît enfin les relations entre quatre points d'un* cercle ou cinq points d'une sphère, et un autre point quelconque : la dernière de ces relations est contenue dans un théorème de Feuerbach (Untersuchung der dreieckigen Pyramide, p. i5), qui a été reproduit par Cayley (Cambr, Math. Jour,^ II, p. 268) et par Luchterhand^ [Journal de Crelle^ XXIII, p. SyS). Ces mêmes relations ont été déduites des principes du calcul barycentrique par Môbîus (Journal de Crelle^ XXVI, p. 26). Voici la méthode de Cayley, fondée sur l'emploi des déterminants :

Supposons que les points A, B, C, D d'un cercle soient donnés, par rapport à un système d'axes rectangulaires, dont l'origine est O, par leurs coordonnées (jr, y)^ (x,, j-,), (xj, j",), (^^8,^3). On a, comme on sait,

a -h bx -f- c)

a -f- bx.-^rcy,.

a -f- bx^ -h r> 3,

et par suite (§IX, 3)

(III

■^il-^j' I •»■•: rai

Le développement de ce déterminant, d'après le §111, 6, donne, en ayant égard au § XVI, 5,

0A^ BCD . — 0B^ CDA -f-OC'.DAB — OD^ABC = o.

En construisant OP perpendiculaire au plan du cercle, et ajoutant à l'équation précédente l'identité (^ XVI, 5)

OP^(BCD — CDA -f- DAB — ABC) == o,

il vient

/IV) PA^BCD — PB'.GDA -h PC?.DAB — PD^ ABC = o,

P désignant un point quelconque de Tespace. On a en particulier, lorsque P coïncide avec D,

DA'.BCD -f- DB'.CAD -f-DC'. ABD = o.

Soient donnés pareillement les points A, B^ C, D, E. d'une sphère, rapportés à un système d'axes rectangulaires, par leurs coordonnées (Xy fj z)^ etc • . . Des équations

X* -h j* 4- «' = « -h ^iSF -h O "^ ^^^9

il résulte

En développant ce déterminant (§ XVI, 6), il vient

J 0A« BCDE -h OB' . CDEA -f- OC'.DEAB -+- OD'.EABC ^ ' ^ ' OE».ABCD = o,

O désignant un point quelconque de l'espace . D'après les notations adoptées au § XVI, 7, on a

/x, OA* -h f*jOB» H- ^,0C» -+- p OD' = OE»;

c'est-à-dîre que, siju, juii, fX|, fi^ sont les coefficients coordonnés de E par rapport à la pyramide DABC, alors, pour tous les points O d'une sphère décrite du centre E, la quantité fxOD" -Hf/iOA" -hf^jOB* -hf/jOC* est constante (Feuerbach). On a en particulier

AB» . CDEA 4- AC' . DEAB -f- AD» EABC -t- AE^ ABCD = o, fA,DA' -h PïDB» -H fiaDC' =r DE".

En multipliant les déterminants (III) et (V) respectivement par

I, as^ 4-7', —2Xy — 2/

et par

It ^l+Xlf — 2X„ —27,

I, ^î + rî + ^fj, —2x4, —2/4, — a«4 on trouve (§ VI, 3)

daa . » , Ui

et