OA^ , OB' , OQ' , OF

OA.OP.cosAOP, OB.OP.cosBOP, OC . OP . cos COP ,

( * ) KRËThCH!SËiDt:u, Gconu'tnt', 677.

APPLICATIONS DES DÉTEUMINÀNTS.

respectivement par

g^> gi'y

tif

et d'autre part, les coordonnées des points

par rapport à trois axes menés par le point O, pai*

il existe, entre les deux manières de déterminer P, les relations suivantes (*).

On obtient d'abord, par des considérations trigonométriques, les équations

auxquelles il faut joindre, pour la détermination de A, l'équation (3, IV)

ai fh

(II

hx «M «12 «la

en désignant

OA.OB.cosAOB, OA.OC.cosAOC, OB.OC cosBOC respectivement par

On trouve de plus, par la projection orthogonale [^voir § XVI, 4),

(III) A., = a:X2-+-rY-i-+-2Z2,,

( '* ) Lagrange, ^ur les f^jf ., i!^

2 20 SECONDE PARTIE, § XVIIl.

en posant, pour abréger,

X, -I- j^i cosjy<- -|-z, cosxz = Xi,

Xi cosxjr -f-j, H- z, cosyz = Y, ,

X| cos xz -f- j^, cos x^ "+- -^i

et de même pour les autres.

On a réciproquement (§ IX, 1 )

(X.)H-Aa(X0-l-A3{X,),

(IV) j Rr = A.(Y,)+A,(Y,) + A.{Y,),

( Kz =h, (Z,)-)-A,(Z,) -f-A,(Z,),

en posant

Jr, r, z,

I ces ^/

cos xz

JTj r» 2i

cos xy I

X3 X, Zj

:60ABCsîn

xy*

cosxz COSJ*

et désignant par (X|), ... les coefficients de Xi , . . . dans R, lesquels peuvent se développer d'après le § VI, 5.

Si, en particulier, P est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre OABC, on a g*! = g*! = g^j = A , et par ,1 ,1 ,1

suite /î,= -«11, /l, = -£/,,, /i5= -«88, . . . .

7. La position du point P par rapport au tétraèdre OABC est complètement déterminée par ses distances à trois des faces du tétraèdre, en comptant positivement les distances normales dirigées vers Tintérieur, négativement les distances normales dirigées vers l'extérieur (ou *vice "versâ). Désignons, d'une part, les faces OBC, OCA,OAB, CBA par/i > f\y f%y f\ les distances du poiut P à ces faces par /i, , p^f Pi, p\ d'autre part^ les coordonnées des points A, B, C, P, par rapport à trois axes passant par O, comme

précédemment : on a, entre ces déterminations de P les relations suivantes (*).

Posons, comme au § XVI, 7,

OABC : OBCP : ocap : oabp : cbap = i : j*. : fx, : p, : ^ ,

6 OABC = V sin xyz ; on en tire

I : fAi : fAj : f*s : f* = V sinxjrz : 2/,/?, : ^f^pi : 2/3/?^ : 7./p ,

'^ sin xyz

On a, par cette substitution,

sm xyz

= Çi^-h»îi7-h Ç.2,

^ ' ' sm xjrz

sm ar/z

et réciproquement

"xVsmxxz =/ipt xt -^rf-ip-i x^ -H/a/^a ^s ,

(II) I -r Vsina?rz =Ap^yy -^-Ap^yt -^fzp^y^ .

-z Vsinj?xz ^=fxP\ Zi -\-fiPiZi -k-f^p^z^,

En vertu de Téquation |jt -h /m, + f/, + fxs = i , on a (in) fp -4-/. p, -4-/^ A?2 4-/3/^3 = ;^ V sin x/z .

Si, en particulier, P est le centre d'une sphère tangente

( * ) LagrangE; loc . cil .,24.

222 SECONDE PARTIE, § XVIil.

aux faces du tétraèdre, les valeurs absolues dep, pi, pf, p% sont égales entre elles, tandis que les signes de ces quantités diffèrent suivant que les diverses faces sont touchées intérieurement ou extérieurement. En désignant par p le rayon de la sphère inscrite proprement dite, on a

(/-h/ H-/t -H/3*) P = - V sin xjrz , (/-+-/ -4-/a -h/a ) X =/, X, -f-/j X, -f-/3 X3 ,

(/-+-/ -»-/*-4-/8)r =/ri-h/»rj4-/»rai

Si p' est le rayon de la sphère qui touche extérieurement la face/, et intérieurement les autres faces, on a /?= — p', pi=z p^z=z p^ = p\ etc. En faisant toutes les combinaisons de signes possibles, on trouve onze rayons, dont six sont égaux deux à deux, et huit rentres.

8. Les relations qui existent (*) entre les coordonnées gf , g%^ git ou A, , A, , As (6) du point P, et les coordonnées Ui , fXt , fXs , ou pi , ps , pz (7 ) du même point, s'obtiennent par la substitution des valeurs de x, y.^ 2, trouvées au § XVI, 7, dans les expressions que l'on vient de trouver pour hi, hi^ h^. Dans la formule

ht = fii (x, X, -4- j, Y, -h z, Z,) 4- fxj (jTîX, -♦- jaY, -h ZjZ,)

le coefficient de fXi a pour valeur OA' = an , le coefficient defXj pour valeur OA .OB.cos AOB = a,j, etc. {Démonstratioriy § XVI, 4). On a, d'après cela,

(I) j ^2= fA|<'l2H-fAt«M-hp3^î3»

\ A3 =r fx, a, 3 -\- ^, «23 -f- fX3 «33 .

(*) Lagrance, loc. ci t. y 06.

ÀPPLIGÂTIOMS DES BÉTERMIIÎÀIVTS. 228

Au lieu de développer le déterminant que Ton doit égaler à zéro pour calculer h (6), on peut poser immédiatement, comme ci-dessus,

et il vient

A = jrX-hrY-hzZ,

^ = /Al ^l -h fA2 /«2 -h fAs /'3

PïfA3«23.

Réciproquement (§XVn, 7; § IX, 1) on a

= V* sin'. rjz,

(III

Cl\x 0x2 «13 «12 «22 «23

p, Y^Sin^xjrz = A, a,, 4- h; a„ -f- h^ a,, , liiY^sïn^xxz = hy cLi^ + h^ «2j -h h^ aj3, /*3 V sin'^jz = h, a,3 4- ^2 «23 4- A3 aj,,

«11» «!«*••• étant les coefficients de a,i, a,,, . . . dans le déterminant qui exprime V* sin* a?^z.

Au moyen des substitutions

fx,Vsinxrz = 2/,>»,, etc. . (7), «n = 4/î> ai» = 4/i/2COSn, etc. . . (§ XVII, 5; § XVII, I»),

on déduit des relations ci -dessus les suivantes

- /i, V Sinorj? =/,/?,«„ 4-/, ;?j/jf„ -4-/3 ;>3fl,3,

(iv)

- Aa Vsin.«)^2; =/,/?, a,2 4-/2 //2«„ 4-/3 /?3«23,

- fhysxTKxyz =f,p,a,:, 4-/, P2«23 4-/, /?3«33,

-/.V^sin».rrz=/J/;;«,.-+./J;,î«,,^-/J;,;«