VIII

du

rf..

dn

du

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du

du

du

.Ces déterminants peuvent se développer d'après le § V, 2.

10. Le« relations trouvées, de (III) à (VIII), ont lieu pour les points d'une ellipse ou d'une hyperbole, d'un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde (*), en divisant le carré de chaque distance par le carré du demi-diamètre qui lui est parallèle.

Démonstration. — ^ Si, au lieu de la ëphëre, on considère une des surfaces du second degré dont nous avons parlé, let que les coordonnées orthogonales soient parallèles aux axes principaux de la surface, l'équation

x^ -^jr^ -4- z' = <i -+- ^4? -I- cf -4- cfe

se changera en celle-ci,

6 et €i désignant l'unité positive ou négative. Il s'ensuit que, dans l'équation (V), t'-|-j^' -t- 2* se trouve remplacé par

Soit maintenant MA, le demi-diamètre de la surface qui

(* ) I/extension des propositions précédentes à Tellipse et k rellipsoïde a «•té remarquée par Brioschi (Journal de Crrlhy t. L, p. a36).

APPLICATIONS DES DÉTEUMIIf AH TS . âSQ

a la même direction que OA, et soient^ de plus, p, 9, ries coordonnées de A^ par rapport aux axes principaux de la surface. On a, par des prdpositions élémentaires,

:c :jr : 3 : OA=p : q : r : MA,.

Mais, à cause de la relation connue

Si

on a

Par conséquent, dans (IV) et dans (VI), on introduira