AB-!-CD = CB-H AD
16. La somme des droites équipoUentes aux côtés d'un polygone fermé, parcouru dans un même sens, est identiquement nulle.
Ce principe découle évidemment aussi de la définition de l'addition. Les applications en sont incessantes.
ADDITION ET SOLSIRACTIOM DES DEOITIiS. 9
Condition poiir que trois points soient en ligne droite,
17. Nous avons vu, au n" 9, qu'on exprime la condiiLon qu'un point M soit situé sur la droite qui joint les deux points Â, B, en écrivant AM ^ ^ÂB, x étant un nombre réel.
D'après le principe du n" io, on peut donner à eettc équipollence la forme
OM-OA = a;(OB— OA),
(1) OM={i — a;)0A-i-3!0B.
X étant quelconque, on peut, à !a place de i ^ a: et x, écrire deux quantités «, v qui satisfassent à !a condition u-^v = \^ ce qui donne
(2) 0M = uOA-HwOB avec « + y = (.
On satisfait à cette condition en posant «^ -1
.'= -^^. d'où cette forme nouvelle
(3) (^-^0OM = zOA-i-(OB.
Enfin, en faisant passer tous les termes dans un seul sOAn-iOB- [s-hOOM =0.
Ici 3, (, — (^ + f) sont trois coefficients quelconques, dont la somme est nulle. On. peut donc encore écrire
(4) /iOA + 50li-i-/-OM =0 avec ^ + y + /■ = o.
Par l'une quelconque des équipoUences (i), (2), (3), (4), on exprime que les trois points A, B, M sont en ligne droite.
Bien entendu, le point O est loul à fait arbitraire.
PREMiÈRE TAUT!
18. Soient deux poinLs A, B. PoLir avoir leur poinl milieu M, nous écrivons ÂM = i^AB; c'est-à-dire, O étant arbitraire,
OM — OA = KOlî - OA), OM = I (OA ■+- OB).
On peut dire que la droite OM est la moyenne arithmétique des deux droites OA, OB.
Par extension nous dirons que l'expression
(0 0M= -{OA,-rOAi-i-...-' 0A„)
est]a moyenne arithmétique de «droites OAnOA^, ..., 0A„.
D'après cette définition, la position du point >] est indépendante du point O que l'on a cLoisi ; car soit, s'il est possible,
O'M'r-^ -(O'A, ;-0'A5-i-...-;- 0'A„); on peut écrire cette équipollence (i5) OM'— 00'= -(OAi- -OO'-i- OAs-- 00' -h...-!- 0A„ — 00')
-= i (OA, -I- Aj -i - . . . . i- 0A„) - 00',
c'est-à-dire
DM' = - ( OAi -h OAs -^- . . . -H OA,0.
Retranchons-la de la relation (i), membre à membre :
OM — 0M'=o 011 M'M = o,
ce qui monire bien que le point IM' coïncide avec ie point M.
ADDITION ET SOUSTB.VCTIO
19. On dira de même que la moyenne arUhniélique de plusieurs droites OA, OB, . . . , OL, affectées respectivement des coefficients a, b, ..., l, est donnée par l'expression
(î) ON = . ^ .(((OÂ-i 60B-^...^;0L),
et l'on établirait sans plus de peine que !e point N est indépendant du point arbitraire O.
Nous ne nous arrêterons pas à démontrer que le point M du numéro précédent n'est autre que le centre des moj'ennes dislances des points Âj, A^, ., ., Â^, et que le point N est le centre de gravité ou barycentre du système des points A, B, . . ., L, en lesquels seraient placés les poids a, b, ..., l respectivement.
C'est ce qu'il serait bien aisé de reconnaître en décomposant toutes les droites suivant deux directions fiscs OX, OY, comme nous l'avons Indiqué à la fin du nM2.
On pourrait aussi s'en assurer d'une manière directe.
Les points M, N seront souvent appelés j!»0£n(5 moyens du système de points correspondant.
Il est intéressant de remarquer que l'équipoUence (3) du n° 17 exprime que le point M est le barycentre des points A, B, en lesquels on aurait placé les poids z, t. respectivement.
Des inclinaisons.
20, Il y a lieu de remarquer que toutes les notions que nous avons établies jusqu'à présent, sur les sommes de droites, la multiplication des droites par des nombres réels et les équipoUences qui en résultent, peuvent s'étendre à la Géométrie de l'espace. Dans le but de restreindre à la Géométrie plane ce que nous avons à
développer maintenant, comme nous y force la nature même du calcul des équipoUences, noua avons à indiquer le mode de mesure des directions, dont noiis avons parlé jusqu'ici d'une manière absolue, mais sans les comparer entre elles.
Cela sera surtout d'une extrême importance au point de vue des développements qui doivent trouver place dans le Chapitre suivant.
21. Supposons une droite fixe indéfinie OX {fig- 4) tracée dans le plan par un point fixe O; pour préciser les idées, nous la supposerons horizontale, par exemple, et dirigée de gauche à droite.
Une droite quelconque AB étant située dans le plan, nous supposons qu'elle est transportée en OM, c'està-dire qii'on a OM^^ AB; el nous estimerons la direclion de AB d'après l'angle MOX que forme la droite OM avec OX; cet angle Q&iV inclinaison Ae OM(oude AB).
La droite OX est appelée origine des inclinaisons.
Pour éviter toute ambiguïté, il importe de bien spécifier les conventions stir les signes des inclinaisons. Nous considérerons toujours l'inclinaison XOM comme comptée en partant de la direction OX pour atteindre
ADDIIlOIi ET SOUSTRACTION DES DUOITES. î3
la direction OM. Si, en effectuanl ce mouvement de rotation, on suit un sens conlraire à celui des aiguilles d'une montre, l'inclinaisonestjDOSiViVe. Si l'on suit un mouvement de même sens que celui des aiguilles d'une montre, elle est négative.
L'inclinaison d'une droite AB se désigne par la notation inc.AB, Nous aurons, par exemple,
22. L'angle BAC de deux droites AB, AC {/ig. 4) se mesurera par la différence des inclin deux droites, ce qu'on écrira
ang.BAG =^ inc. AC — inc. AIÎ.
SiDE= AC,nous
ang,( AB, DE) = inc. DE — inc, AB.
Il importe, on le voit, de bien distinguer le signe des
angles; par exemple, l'angle BAC doit être compté en
se dirigeant de AB vers AC ; l'angle CAB, au contraire,
serait compté de AC vers AB, et l'on aurait
ang. CAB =- inc. AB — me. AC = - ang. BAC,
OU, si les droites ne sont pas issues du même ])oint,
aiig.(DE, AB) =— ang.(AB, DE).
23. 11 est clair qu'on n'altère pas la direction ni le sens d'une droite en ajoutant à son inclinaison un nombre entier de circonférences, ou un nombre d'angles droits qui soit multiple de 4- Une même droite a donc une infinité d'inclinaisons, positives et négatives, parmi lesquelles on choisit habituellement celle qui s'esprime par le nombre le plus simple. Mais ce sérail commettre une grossière erreur de langage, que de dire que toutes ces inclinaisons sont égales.
l4 PtiEMltltE PARTIR. — GlUriTRE I.
Si J'on considère au contraire deux droites fie même direction, mais de sens opposés, telles que ÂB et BA., on voit, en les ramenant toujours à l'origine, que leurs inclinaisons diffèrenl entre elles de 180°, ou plutôt d'un nombre impair quelconque de demi -circonférences ; ou encore, si l'on prend l'angle droit pour unité, d'un nombre d'angles droits marqué par 4«+ 2, n étant un nombre entier quelconque positif ou négatif.
Les inclinaisons pourront s'évaluer en angles droits, en degrés ou en fractions quelconques de la circonférence, absolument comme l'on voudra.
Lorsqu'il s'agira d'évaluer un angle, il impoi'tera toujours de choisir convenablement lesinclinaisons des deux, droites qui le forment, de telle sorte que la diiFérence de ces inclinaisons donne bien exactement l'angle luimême. Autrement, on pourrait lui ajouter, mal à propos, un certain nombre de fois quatre angles droits, d'une façon très inutile. C'est une question d'attention et de discernement dans chaque cas particulier.
Principes relatiîs aux grandeurs et aux inclinaisons.
24. 5* les deux termes d'une équlpollence binôme ont des inclinaisons différentes, chacun d'eux est nul séparément.
Toute équipollcnce binôme peut en effet se ramener à la forme /AB ^= mCD, qui entraine, d'après la définition même d'une équlpoUence, les deux relations
ïgr.AB = mgr.CD et inc. AB = inc.GD.
Si cette dernière relation n'est pas satisfaite, il faut donc que l'on ait / = o, m=:o, ce qui donne à l'équipollence binôme la forme identique o =: o.
Il est clair que toute droite de longueur oulle a uoc inclinaison indéterminée.
■non BË9 DROITES, [J
25, Si deux termes d'une équipoUence tiinôirn: ont des inclinaisons égales, le troisième terme (si on le suppose isolé dans un des membres de l'équipollence) aura même inclinaison, et sa longueur sera égale à la somme des longueurs des deux premiers termes.
On voit immédiatement qu'il en est ainsi, en remarquant que touleéqiiipollence trinôme peut être ramenée à la forme ÂB + BC = AC d'une équipoUence identique. Si AB, BC ont même inclinaison, les trois points A, B, C se succèdent sur la même droite AC, d'où résidle évidemment la proposition énoncée.
Si les inclinaisons AB, BC différaient de deux an^fles droits, l'inclinaison du U'oisième terme serait, ou celle de AB, ou celle de BC, et la longueur de ce troisième terme serait la différence des longueurs des deux pre-
26. Si dans une équipoUence trinôme de la forme A-l-B + c=^o, les trois termes étant d'inclinaisons inégales, on a
il en résulte
Identifions avec l'équipollence LM -|- MN 4- NL = o {fig. 5), en posant a = LM, b = MN, c = ML. La relation donnée devient
Ajoutant deux angles droits de pai't et d'autre (2^),
l6 PREHLÎIIIE PARTIE, — ClIAPITliE I.
c'est-à-dire (22),
ang.NML = ang.LNM.
Les deux angles M, N du triangle LMN sont donc
gaux, et par suite ce triangle est isoscèle ; donc
gr.LM = gr.!\L ou gr.A = gr-C.
Réciproquement, si, dans l'éguipollence trinôme , -[- D -|- c=^ o, on a
C'est ce qiie montrerait le calcul inverse du précédent, en partant de l'égalité des deux angles M, N et en faisant attention à leurs signes.
Progressions par diffêreiice.
27. Si une série de droites a, , a^, . . . , a„ sont telles que la différence a^+i —a* entre l'une quelconque et celle qui la précède soit constante, ces droites forment une progression par différence.
En les rapportant toutes à une origine commune O,
