ADD[T[OS ET SOUSTH

c'est-à-dire en posant OA| = i(, OA^ == ,1^, ..., les points Aj, As, ...,A„ seront évidemmenl tous placés sur une même droite et éqiiidîstants les uns des autres.

Toutes les propositions qu'on établit en Algèbre sur les progressions par différence se traduiraient ici par des propositions identiques, puisqu'elles ne reposent que sur l'addition, et sur la multipiicalion par des nombres réels.

Si l'on ne rapporte pas les droites A(, Aa, ... à une origine commune, c'est-à-dire si l'on pose A.| ;=^ B, C, , A2 = BiCi, ... ifig.fi), on aura, en appelant MN la

ou(iS)

Ceci peut encore s'écrire, O étant quelconque, OB/,-i-OG/n-i— (OCft+ OB4+,) = MN.

Donc (18), si nous appelons G^ le milieu de la droite

iS rnEMiÈiii! pxiiriii. — ciupiiiiii; i.

BaCa+, et H^ le milieu de îa droite CaB;,^,, il viendra

OG/, — OH/, -. \ MN, c'est-à-dire,

Ili-Gi =iSlN.

Les séries des points Bj, B^, ... et G,, Cj , jouiront donc de celte propriété géométrique

HiG, = H3Gj = ... = iMN,

IIi, Hî, ... étant les milieux de C|,B2, C^Bs, ... Gi, Gî, ... étant les milieux de B, C^, B;, Gj, ....

EXEliCICES SUR LE CHAPITRE I.

1. Deux points, A et B, sur une Carie, sont séparés par une rivière animée d'un courant constant, et dont les bords sont rectilignes et parallèles. On ne peut traverser cette rivière qu'en bateau. Déterminer le trajet le plus court à suivre pour aller de A en B.

Si XY (qui se trouve donné) représente la traversée de la rivière, il sutGt de tracer AD — XY; il n'y a plus qu'à rendre minimum DB.

2. On donne une série Aj, As. - . . , A„ de points équidistants en ligne droite. En chacun d'eux on applique un poids égal à son indice. Trouver le barycentre de ces it poids.

On tracera A|A|, = A,A,; puis, prenant A, pour origine, on appliquera la formule (a) du n" 19.

3. Même problème, les poids étant égaux aux carres des indices.

Solution analogue.

i. Aux sommets A, B, C d'un triangle, on applique rcspcc-

EXItnCICES, 19

tivemeiit les poids i, 3, 3, puis 1., 3, i, puis 3, 3,2. Soient G|, Gj, G3 les barycentres de ces irois systèmes. Démontrer :

1' Que les triangles ABC, G, Gj G3 ont le même barjcenlre G;

3° Que les médianes de chacun de ces deux tiiacgles sont parallèles aux côtés de l'autre.

Former les valeurs c, = 5 1 ■ ■ ■ > d'où l'on déduira tous

les éléments demandés.

5. Deux segments de droites étant divisés en un même nombre de parties égales, on joint les points de division homologues suivant A,Bi, AiBs, ..., et l'on divise AjB,, AjBs, ... dans un même rapport en Ci, Cj, .... Démontrer que les points Cj, Cs, ... sont tous en ligne droite et également espacés tes uns des autres.

On y arrive en remarquant, d'une manière générale, que

C. On donne, sur un plan, les coordonni^cs des trois sommets d'un triangle, dont les côtés prolongés déterminent, comme l'on sait, sur le plan, sept régions distinctes. Étant données les coordonnées d'un quatrième point, déterminer la région dans laquelle il est situé.

On regardera ce quatrième point comme le barycentre de trois poids placés aux sommets du triangle et dool la somme soit égale à l'unité. Les signes de ces poids détermineront la région.

7. Le barycentre de deux poids a, p, placés en A, B, est G. Si l'on change le signe de l'un de ces poids, le barycentre est Gi- Démontrer que G, Gi divisent harmoniquemenl le segment Alî .

Il suffit de prendre, par exemple, A pour origine pour vérifier immédiatement qu'on a - H- -- = -■

8. Le barycentre des poids et, p, y, placés en A, B, C, est G, Si l'on change les signes de a, de p, de f isolément, on obtient pour barycentres trois nouveaux points Aj, B], G,. Démontrer que les droites AA,, BB,, CCj se rencontrent en G et que AiBi, BiGi, Cl A, passent respectivement par C, A, B.

20 PUlîMiÈBE PAETIE. — CHAPITRE I. — EXEliClCES.

En formant les expressions de c, a,, e,, c,, on établit sans peine les propriétés demandées.

Si l'on rapproche cet exercice du précédent, on voit qu'on obtient la solution de ce problème : « Etant donné un triangle ABC, en trouver un autre A, B|C,, tel que ses eûtes passent par les sommets du premier, et que les droites AA„ BB,, CC, se rencontrent en un oint donné G. »

MULTIPLICATION ET DIVISCON DES PHOTTES.