OB'S

'âquipoHence du lieu demandé; elle donne u mple. L'équation en coordonnées rectangutairi

12, Trouver le lieu géométrique d'un point tel que duit de ses distances à deux points fises soit constant.

F et F, étant les denx points fises, et X un point du lie pression FX.F.X ou i' — (f + ï, ) s -h ff, a une grandeur c( k'. Choisissant pour origine le milieu de FF,, on a donc

C'est l'équipollence du lieu. Il eu résulte une construcUon très simple de la courbe par points, la quantité sous le radical exprimant une droite qui aboutit à une circonférence.

On construira sans peine la tangente et le rayon de courbure en nn poini X de la courbe.

13. On donne une courbe C et un point fixe 0. La circonférence décrite de comme centre et passant par un point M de C rencontre la tangente et la normale menées en M aux points T et N. Construire les tangentes aux lieux clécrits par T elN.

On prend O pour origine, l'arc pour variable indépendante, et l'on » alors — T= N ^ cJME''. Différentianl et multipliant par i ~|g, on obtient alors la direction de la normale à l'une ou à l'autre des deux

rffl

(ON = MR — in = UIN -■:■ NT ~ UT,

l'.a construisant NU = MR.

Cette droite UT est donc la normale à la courbe (T) et ce quemmant parallèle à la normale à ( N ).

On doit se rappeler que, dans ce qui précède, R représente le ci de courbure.

14. Une cijQcbu variable de posilioa seulement touche une droite donnée en un point fixe O. Trouver ;

1° Le lieu décrit par un point invariablement lié à la courbe

2° L'enveloppe d'une droite invariablement liée à la courbe mobile.

1° Soit CM = tp(t) S'équipollunce de la courbe mobile dans une position initiale; MT = -^-e" est la tangente en M. Prenons le point O pour origine et pour origine des inclinaisons la droite donnée. Si X est la position du point C rapporté à ces nouvelles origines et qu'on porte OH sur l'origine des inclinaisons, de longueur MT, les deus triangles CMTj XOH sont égaux, «» mg ^ îiÏT ^ '"' "" ^=— "^~°-

Telle est l'équipollence du lieu décrit par le point C. a° Dans la premiéie équipollence de M, choisissons la droite dont on cherche l'enveloppe comme origine des inclinaisons. Alors la droite mobile est parallèle à e-' Le point de l'enveloppe est donné par V. — n + «e~' et, en exprimint qu on a (Bz || s~', on trouve

pour l'enveloppe; ic +j'( représente m.

Applications faciles ï un gi'and nombre de courbea connues, notamment aux coniques.