SECONDE PABTM]. CHAPITRE VIII

A ce point de vue, on doit considérer une coarbe quelconque, définie ainsi que nous l'avons fait au Chapitre précédent, comme la transformée de la droite origine des inclinaisons, puisque toutes les valeurs réelles de la variable t ont leurs extrémités sur cette droite origine.

Il peut arriver même que la transformation de l'origine des inclinaisons tout entière ne donne qu'une fraction de la courbe considérée, ainsi que nous l'avons fait remarquer déjà dans l'élude de l'hyperbole, où nous avons vu que l'cquipoilence

.M ^ vC.IU -r-uSh/

donne seulement une branche de ia combe, lorsqu'on fait varier t de — m à -|- oo, tandis que l'équipoilence

aurait donné la courbe tout entière, en faisant varier ti dans les mêmes limites. Celte possibilité d'isoler ainsi en quelque sorte une branche de courbe, suivant la manière d'écrire son équipoUence, n'est même pas l'un des moindres avantages de la méthode des équipollences.

BES TRANSl'OUMATIONS. 245

Par contre, il importe de remarquer qu'inversement la transformation totale de l'origine des inclinaisons peut donner au delà de la ligne qu'on cherche. Ainsi la dernière équipollence de l'hyperbole que nous venons d'écrire suffit à donner la courbe tout entière quand on fait varier ji de — oo à — - 1 , puis de + i à + oo. Dans l'intervalle entre — i el+ ij la transformation de l'origine des inclinaisons donne en outre une ellipse, car l'équipoUence peut s'écrire

en posant bï = c.

198. L'expression M ^ ©(il), lorsqu'on y remplace ainsi t par une droite, détermine ce que Bellavilis appelle les points fictifs de la courbe (M). Il a ainsi étudié les propriétés des points fictifs conjugués, résultant de deux valeurs conjuguées données à t. Dans cet ordre d'idées, il est clair que tous les points du plan peuvent devenir points fictifs d'une courbe. Ici, nous ne voulons pas nous livrer à l'étude de ces points fictifs, si intéressante qu'elle puisse être, mais faire remarquer seulement qu'elle se rattache directement aux transformations générales dont nous venons de parler.

On verra seulement dans cette indication une preuve nouvelle de la réalité des faits géométriques, réalité si complètement mise en lumière par la méthode des équipollenccs.

Propriété isogonale des transformations monogénas.

199. Nous dirons que la transformation y^^(j)(x) est monogène lorsque la fonction ç est elle-même monogène, c'est-à-dire lorsqu'elle admet, pour chaque valeur de x, une dérivée unique a' (x).

SECONDE PARTIE, -

Cela étant, supposons que noiis donnions à x un accroissement infiniment petit quelconque </x; il en résultera pour v un accroissement eorrespondant c/y , et

Donnons maintenant à x un autre accroist ment petit d^, de direction différente; di étant l'accroissement correspondant de y, il viendra

Delà

dY

ou, ce qu

i revient

au même,

L'angle des éléments d\ et ^y est donc égal à l'angle des éléments rfx et di. Autrement dit :

Dans toute transformation monogène, les angles se conservent en chaque point sans altération.

Cette propriété fondamentale est d'une extrême importance au point de vue des applications soit analytiques, soit géométriques. Elle conduit parfois à donner aux transformations dont il s'agit la dénomination dp transformations isogonales.

Il est à peine utile de faire remarquer que, si le point X se déplace suivant deux courbes différentes, les éléments (^x et dx sont dirigés suivant les tangentes à ces courbes; dY et dv seront dirigés suivant les tangentes aux courbes transformées {Jig- 64)-

DKK 'rilANSeOIlMATiONS.

. La dérivée -j- ^= cp'(x), dans une transformation, représente le rapport géométrique des accroissements de Y el de x, c'est-à-dire des déplacements des points Y et X. Si, par exemple, il s'agit de la transformation d'une courbe (X), et sî eette courbe est déterminée par l'équlpoilence

comme au Chapitre précédent, t étant ici un paramètre réel, il en résultera

et le rapport -3- sera égal à -

La dérivée est donc le quotient géométrique des dérivées correspondantes des deux courbes, en les supposant exprimées au moyen d'un même paramètre rée). Ceci est d'ailleurs une conséquence immédiate et évidente de la dérivée d'une fonction de fonction.

Relation entre les rayons de courbure.

201. Soit Y = f;{x) iiiie transformation monogène, la dérivée (p'(x) étant aussi monogène, en sorte que la dérivée seconde f"(x) est déterminée pour chaque point. Imaginoos que x et par suite y soient évalués en fonction d'un paramètre réel quelconque, pris poui' variable indépendante, c'est-à-dire que le point X soit assujetti à parcourir une certaine courbe, dont la courbe (Y) sera la transformée. Prenant les dérivées par rapport à ce paramètre, (5) (J^Y=--ç'(x)(Sx,

puis (6)

yGoosle

SECOBl» PAllTIH.

ciupim

De

là,

ps

ir division,

(Dx

'ffix

Acluelleirient posons, pour la situation particuiière du point X considéré,

et désignons par XR, YR' {fig. 64) les rayons de oourbure des courbes (X) et (Y), par p et p' leurs grandeurs respectives, pari+ iXet ^'+ [V les valeurs des quotients - et -— -• supposons emm qu on ait pris pour paramètre indépendant l'arc même de la courbe (X), ce qui donne évidemment, en appelant 9 l'inclinaison de la tangente en X,

et, par conséquent,

L'équJpoUence ('j) devient alors

et, en égalant les coefficients de (',

(8) ï,' = ). + bsin(p + (|).

Or nous savons qu'on a

ÏU'= p(ÛY= j-!a-.^+'i.

DES TlUKSUOllSIATIONS. '?,i|9

et \'équaiion (8) prend la forme

Telle est la relation remarquable qui lie les rayons de courbure des deux courbes correspondantes (X) et (Y), ces rayons ayant d'ailleurs des directions marquées respectivement parles inclinaisons Q-|-7eto; + 6+--

302. On déduit de la formule (g) un théorème qui ne nous paraît pas avoir été signalé jusqu'à présent dans sa généralité. L'équation générale d'une conique en coordonnées polaires peut s'écrire

(lo) - =^ cosQ -h y sin 6 ± i//cosse -h^cos Osina 4- Asin^fl,

d représentant l'angle polaire rapporté à un axe quelconque. Si cet axe est précisément perpendicnlaire à l'origine des inclinaisons, l'angle 9 sera le même que ci-dessus, et par conséquent nous pourrons remplacer par sa valeur (lo) dans la formule (g) ; — prendra alors une forme pareille, en fonction de Q. Mais cet angle 6 est précisément l'angle polaire qui correspond à p', si nous prenons pour axe une droite formant avec l'origine des inclinaisons l'angle - -1- a. Donc :

Théorème. — Si les centres de courbure R d'une série de courbes passant par un point X sont distribués sur une conique, les centres de courbure R.' des courbes transformées, passant par le point Y, seront aussi distribués sur une conique.

Dans le cas où ' =^ o, -7 prend la forme csiii(P M-9); et l'on en tire immédiatement cette proposition :

■2J0 SECONDE PAItTIE. — CIIAPITMK VIll.

CoiioLLAiiiF. I. — Toutes les transformées de droites passant par un même point ont leurs centres de courbure situés sur une même droite.

Si les centres de courbure i\ sont sur une conique ayanl pour foyev le point X, on a

cl la formule (g) nous montre que —, prendra la forme /f' + /5'cosQ + fjf' cosQ. De là cette nouvelle cons<^quence :

Corollaire II. — Si les centres de courbure de courbes passant par un point X sont distribués sur une conique ayant pour foyer X, les centres de courbure des transformées, passant par le point Y, seront distribués sur une conique ayant pour foyer Y.

De là encore, comme cas plus particulier, lorsque la conique de foyer X se réduit à une circonférence :

CoROLLiiHË III. — Si les rayons de courbure des courbes passant par X sont égaux, les centres de courbure des transformées seront distribués sur une conique de foyer Y,

Les corollaires I et III ont été établis par Transon, dans un article fort remarquable publié dans les Nouvelles Annales (1869, p. (i4); mais le corollaire II, et surtout le théorème général qui précède, semblent avoir échappé à ses recherches.

rllANSFÛHMATIONS.

ne figure (X) est Iransporlée parallèlemei , la transfoi'inatioii s'exprimera par

Si ceLLe figure, sans changer de grandeur d'un certain angle a autour d'un point C, on a

Si ces deux clrconstanees se produisent à la fois, il

si bien que la l'orme reste la même.

Posant c= ^1 on voit que tout déplacement quelconque d'une figure équivaut à une rotation autour d'un certain point.

Homothétie. — Similitude.

204. L'équipoUence y = kx, k étant réel, représente la transformation d'une ligure (X) en une figure homothétique, le centre d'homothétie étant à rorigine.

Si cette figure se transporte parallèlement à ellemême, la nouvelle transformation s'exprimera par

équipoUeiice qui prend k forme CY = ACX, si Ton pose

203 SECONDE PARTIE. — CHAPITIIE Vlil.

205. Si jiL représente un rapport géométrique, li transformation par similitude de la figure (X) s'expri mera, de la manière la plus générale, par

v = A-i-|j,Y OU cy = ii^;x,

Ainsi, deus figures semblables quelconques ont toujours un centre de similitude, facile à construire, et l'on voit qu'on peut rendre ces figures liomothétiques en les faisant tourner autour de ce centre.

Il s'agit, Lien entendu, ici de la similitude directe. La transformation par similitude inverse conduirait à l'équipollencc

Transiormation i = \".

âOG. Les transformations qui rentrent dans l'équipollence générale

présentent des propriétés communes assez simples et intéressantes à signaler. On a tout d'abord, en prenant la dérivée,

et de là

Donc l'angle v que forme la tangente avec le rayon vecteur issu de l'origine est le même dans la courbe (X) et dans sa transformée (Y).

Si maintenant, comme au n" 201, nous faisons 03>: = î^; et si nous écrivons en outre grx = r, grv = i-' ,

DES TllANSFORHAIIOSS. '!53

on recontiaU qu'il vient

et que la formule (9) du numéro précité se réduit à

En désiguanL par XN, YN' les normales aux deux courbes, telles qu'on les définit en coordonnées polaires, c'est-à-dire limitées à la perpendiculaire au rayon vecteur menée par l'origine, on a

î^rXN= -^, grYN'= ^;

d'ailleurs p, p' sont les grandeurs des rayons de courbure XR, YR' dirigés suivant les normales. La relation peut donc s'écrire

YN' XN ""yW ■" XH "'"'"' "''

et elle l'ournit, pour le centre de courbure R', une construction des plus simples.

Lorsqu'il s'agit de la ti-ansforraée d'une droite, le centre R passant à l'infini, l'équation se réduit à

Transformation exponentielle,

207. Nous appellerons tr ans formation e.vponeiUieUe celle qui est donnée par l'équipoUence

Il est tout d'abord à remarquer que, si nous posons X = 3:+ (y ^/■£"'et Y =:;^^'H-ry = r's"'', nous obtien-

25^ SIÏCONDK PAR'tIK. — CIIAPITIIIÎ VTir.

di-oni

La transformation est uniforme et elle est aussi évidemment monogène.

Si des points X se snccèdent en progression par différence, teiirs transformées Y formeront une progression

par quotient. Ceci nous nioutte que toute droite se transformera en une spirale logarithmique ayant pour pôle l'origine.

Deux points B, B, étant donnés, cherchons les points A, A, dont ils sont les transformés. On aura

Si donc — ^ im''-, il s'ensuit qu'on obtient AAi = logm-4- j>, grAA, = v'(i"g'")'-^ ['-', incAAi = arciang j^

Cette dernière valeur sera précisément l'inclinaisoi

l'arc de spiialc BB, sur ses rayons vecteurs, à cause de la propriété isogonale; el, quant à grAA.,, c'est ce que nous pourrons appeler la grandeur logarithmique de l'arc de spirale BB,.

B étant fixe, si la grandeur logarithmique varie seule, le point B| est assujetti à ne se déplacer que sur la même spirale. Si, au contraire, la grandeur logarithmique restant fixe, l'inclinaison seule varie, le point B, décrit «ne trajectoire orihogonale de toutes les spirales issues du point B. On pourrait désigner cette trajectoire orthogonale sous le nom de circonférence exponentielle.

De ce qui précède, on conclut immédiatement, de toute proposition s'appliquant à des points et des droites sur un pian, une proposition analogue s'appliquant à des points et à des arcs de spirales logarithmiques de même pôle.

La notion précédente, de la grandeur logarithmique, permettra de formuler les propriétés qui correspondent aux propriétés métriques.

Nous laissons au lecteur le soin de faire ces applica-