Dans la transformation dont il s'agît

'?(x) = oXx} = <f''(x} = e'=ï.

Par suite, dans le calcul du n" 201, on a

et la relation (9) entre les rayons de courhure devient

.[■JE. — CliAPlTlU: VITI.

Extension de la formule y -~ fi^.-) dea coordonnées cartésiennes.

209. En coordonnées rectilignes, soit reotawgulaires, soit obliques, on sait que l'équation ;>'=; ç(^) représente une courbe, tant que X et j sont réels. Il a été fait d'assez nombreuses tentatives pour interpréter cette relation dans l'hypotlièse de valeurs imaginaires, tentatives qui, pour la plupart, présentent quelque chose d'un peu conventionnel et arbitraire.

Il nous semble cependant que le calcut des équipollences fournit un mode de généralisation absolument simple et naturel, et que nous allons nous efforcer d'indiquer le plus brièvement possible.

L'équation y = f (ic) marquant une relation de grandeur entre les variables réeUes œ ety, on est convenu de lui faire représenter une courbe (M) en portant, à la suite de la droite OP = x, la droite PM de grandeur y dans la direction marquée par l'axe des y, et c'est ainsi qu'on obtient le point M.

En d'autres termes, a étant l'anale des coordonnées,

(0 M = ^H-7i^ = ar-i-s'-'(f(a^),

et nous pouvons considérer ainsi la courbe (M) comme une véritable transformée de l'axe des x, obtenue au moyen de la formule (i).

Pour le cas particulier des coordonnées rectangulaires, la formule est

Si nous conservons exactement les mômes conventions et les mêmes formules, pour le cas où x &iy représentent des droites quelconques et non plus seule-

DES Tll*SSF0E>IAT10NS,

iiienL des (luanlltcs réelles, nous obliendrons Loiijoiu un point M {fig- 66) par la l'ormulc (i). Go point pai

courra nne courLe déterminer lorsque l'extrémité de .r parcourra elle-même une courbe donnée.

Si X reste réel, les valeurs de x qui pourraient conduire à des valeurs imaginaires de y et qui ne s'interprètent qu'artificiellement en Géométrie cartésienne n'en donnent pas moins ici des points M parfaitement réels et par conséquent des branches complémentaires de la courbe.

210. A titre d'exemple et d'ôclaircissem cul, prenons la parabole rapportée à un diamètre el à la tang^ente correspondante, représentée par l'équation (2) y^ = -ipx.

Nous avons, a étant l'angle de la tangente avec le dlamcti-c, (a) yi = j:-l-i'^\/!.px,

et cette équipoHence donne tous les points de la courbe considérée quand x varie de o à + « , Ponr avoir les points coi-respondant à des valeurs négatives de x, il

2d8 SECOSBE PARTIli. — CQAPITRli VIU.

siii'fu de l'écrire

11 = a^ rh is' l/-- ^.px i^ a; dz s ^ ^- — 'i.p'J',

et il esl éviJentalors qu'en faisant varier a; de o à — c nous obtiendrons {fig. 67) une seconde parabole < verte en sens contraire de la première, ayant au

l'axe des x pour diamitre et telle que la tangenrc à l'urigine soit perpendiculaire à la tangente à la première courbe.

On peut aisément reconnaître, soit par la Géométrie analytiqne ordinaire, soit par les équipoUences, que cette parabole adjointe a même axe de syméti-ie que la première et qu'en conséquence elle la coupe en un second point symétrique de l'origine par rapport à l'axe. En ce second point, les deux paraboles sont orthogonales comme à l'origine. Mais nous croyons, pour abréger, devoir nous borner à ces indications sommaires.

Lorsque la parabole principale est rapportée à son axe et à la tangente au sommet, la parabole adjointe se réduit à une partie de l'axe des x.

iirs TRANSFORMATIONS. asg

211. Il est très important de faire une distinction capitale entre ce qui se passe ici et la Géométrie analytique ordinaire. Dans cette dernière, la position d'un point donné entraîne la détermination des deux éléments coordonnés x et y. Ici, au contraire, un point M étant donné, on peut prendre pour x une droite quelconque OX ou s, et la valeur dey qui eu résulte est

puisqu'on doit avoir toujours m =x + yï^.

Par conséquent, deux points M et M' peuvent fort bien coïncider sans que leurs coordonnées x, y et x', v' soient les mêmes. Mais si, au contraire, deux points ont les mêmes coordonnées x = x', y = v', ils coïncident nécessairement.

Cette remarque est d'une très grande utilité pour que nous puissions nous rendre compte de ce que représentent les solutions communes de deux équations (4) F(x,ï) = o, /Cx,Y) = o,

solutions qui donnent en géométrie cartésienne les points d'intersection des deux courbes correspondantes. Si x,, Y, est une de ces solutions communes, le point M, donné par

appartiendra à la fois aux deuK figures représentées par les deux équations données, lorsqu'on fait parcourir au point X une ligne passant par X, ; et toutes les solutions communes ainsi obtenues indiqueront les seuls points du plan M,, M^, ..., qui jouissent de cette propriété.

En d'autres termes, les solutions communes donnent les points ayant mêmes coordonnées et non pas tons les points communs.

i^O SECONIIU PARTIE. — ClLArnllK VIII.

Comme exemple, prenons les deux circonférences ^■eprésentées par les équations

in coordonnées rectaiigulrùres, avec la condition

On voit immédiatement cjiie les solutions comlnulH!^ des deux équations sont données par

Si a* ;>Zt^, les circonférences se coupenl,el l'on a ainsi les points d'intersection. Si an contraire a"^ — 6^ = — c"-, il vientJ^■ = ± ic, et les points répondant aux solutions communes sont donnés par m =: o -f- iy, c'est-à-din:

En coordonnées obliques, les deux équations auraient représenté deux ellipses ajant leurs diamètres conjugués égaux dirigés suivant les axes, et les points à coordonnées communes auraient été donnés par

Il est facile de reconnaître que ces deux points appartiennent en effet à la fois aux branches adjointes des deux courbes et correspondent k x ^ o.

212. Nous ne voulons pas ici pousser plus avant ces considérations qui pourraient prêter à bien d'autres développements. Nous avons tenu simplement à signaler la possibilité de faire disparaître en Géométrie analytique cette notion un peu mystérieuse et confuse des imaginaires dans des questions où elle semble presque s'imposer. La notion des imnginaires, si féconde lors-

cjQ'on s'en sert comme d'une forme de langage, lors- (ju'on remploie comme un inslniment précieux, leiidrait à jeler de l'obscnrité dans l'enseignement des Mathématiques, si l'on cherchait à attribuer à ces quantités une existence propre, étrangère à leur origine géométrique et sortant du domaine de la réalité. C'est cette obscurité que la méthode des équipollences a ic grand avantage de dissiper, par une interprétation rationnelle des ajinbolcs de l'Algèbre.

EXERCICES SUR LK CHAPITRE Vlli.

1. Si l'on transforme trois courbes tangentes entre elles en un même point, les différences de courbure dans les courbes transformées sont proportionnelles aux différences de courbure dans les courbes transformantes.

En effet, si nous appliquons nui trois courbes la formule (o) du n- 201, et si nous éliminons ensuite n et ùsinfp -' 6), il reste

\p'i PW'XPa P'j/ ~ Vpi FJ' \P, pJ Il est bien entendu que la transformation est supposée moiiogéoe.

3. Étudier les transformations ï ~ x', V] — ^K en supposant que X se déplace : i° sur une droite ; i-> sur une circonférence.

Applications simples du n° 206.

le deuxième cas (i°) doitétrerapprochédel'exercicelîdelapage^^o, et aussi d'une remarquable génération des ovales de De d n

par Chaslea {Aperçu htalorigae, a' édition, p. ïja}.

De là résulte une relation intéressante eutre les o I d D rarles et celles de Casaini, laquelle s'exprime par 1 f n ul d transformation y = yj et dont nous laissons au iec u 1 ni clierclier les conséquences.

3. Si l'on effectue la triinsformation ï ^ \" d'une courbe (X),

262 SECONDE l'ARTIE. — CiUPITIlP. VIII.

,■1 ^i R el R' sont les centres de courbure en S et Y, on a

tangR'OY = retangllOX.

Consequcnci' des propriétés indiquées au n° 206. Si P, P' sont les [lieds des perpendiculaires abaissées de R, R' sur OX, OY respectivement, j1 j a lieu de remarquer l'équipollence

facile à ijLHlilir, el qui esprimo, en particulici', la proprii

i. La somme des angles intérieurs d'un polygone t formé par des arcs de spirales logarithmiques de même pôle est égale à autant de fois deux angles droits que ce polygone n de côtés, moins deus.

Application directe de la transformation exponentielle (207). L'analogie avec la proposition correspondante de Géométrie élémentaire est évidente.

5. Soit ABC un triangle formé par trois arcs de spirales logarithmiques de même pôle O. Soit OA, la bissectrice de BOC, laquelle coupe l'arc BG en A,; soient de même B|, Ci deux autres points obtenus d'une manière analogue.

Démontrer que les trois arcs de spirales AAi, BBi, CGi se rencontrent en un même point G, et que 00 divise au tiers chacun des angles A,OA, B,OB, C,OG.

Application directe de la transformation exponentielle (207 ) comme k l'exercice précédent. C'est l'analogue de la propriété des trois médianes d'un triangle rectiligne.