JUJLTIPLICÂTIOJM ET DIVISION DES DROITES

Prodnit de deux droites. — Produits de plusieurs droites.

28. Jusqu'à présent, dans les calculs que nous avons effectués sur les droites, nous n'avons fait intervenir que la mulliplication/Jar un nombre réel. Nous avons maintenant à considérer des produits de droites multipliées les unes par les autres, et pour cela, nous devons tout d'abord définir le produit de deux droites, que nous supposerons ramenées à la même origine O.

Le produit de deux droites OÂ, OB est une droite OC dont la LOBGUEUR est égale au produit des longueurs de OA et OB, et dont Tihci-inaisoh est égale à la SOMME des inclinaisons de OA et OB.

Il suit de là que l'équipoUence OA.OB^OC entraîne les deux égalités gr.OA X gr.OB = gr.OC et inc.OA h- inc.OB = inc.OG.

Une première remarque, indispensable à faire, c'est que, tandis que la somme de deux droites était tout à fait indépendante de tout autre élément du plan, leur produit dépend au conti'aire de l'origine des inclinaisons que l'on a choisie.

Malgré la multiplicité des inclinaisons d'une droite donnée, il ne peut y avoir aucune indécision sur la di-

2[î PtiËJIItliE FAIlTIJi. — CHAPITHE li,

reclion du produit, puisque l'inclinaison de celui-ci ne peut jamais être altérée que d'un nombre entier de circonférences, ce qui ne change rien à sa direction.

Sans contester ce qu'une définition comme celle que nous venons de donner peut en apparence présenter d'arbitraire apriori, il est bon de montrer cependant qu'elle se justifie assez naturellement, à la condition qu'on admette pour unité la droite 01 de longueur égale à l'unité et dirigée suivant l'origine des inclinaisons.

D'après la définition de la multiplication admise en Arithmétique, on doit former le produit OC, au moyen du multiplicande OA, comme le multiplicateur OB est formé au moyen de l'unité 01. Or, quelles opérations al-onfail subir à 01 pour l'amener en OB? On a modifié la longueur dans le rapport ° " =:gr.OB, puis on a fait tourner la droite ainsi obtenue, danstesens convenable, de l'angle p^= inc.OB. L'analogie nous conduit donc à dire que, pour avoir le produit OA.OB, nous devons modifier la longueur de OA dans le rapport gr. OB, ce qui donnera une droite de longueur gr. OA X gr. OB dirigée suivant OA, puis faire tourner cette droite de l'angle p. Or elle avait pour inclinaison a=;inc.OA. Son inclinaison après la rotation sera donc a + ^ ; c'està-dire que nous retombons précisément sur la droite OC, telle que nous l'avons définie plus haut.

29. La définition que nous venons de donner nous montre que le produit de deux droites est indépendant de l'ordre des facteurs , c'est-à-dire que la multiplication est commutative.

Il est facile de démontrer qu'elle est de plus distrifautive, c'est-à-dire qu'on a