Si V est la grandeur de la vitesse, nou? avons

yî = m' Cj Si'

el, par conséquent,

d{'A') = (/m'.cJ4l'+ h' cjrfji'

= (M"cJM'-!-M'cjin")<f(

= m" cj rf*i -1- du cj H°.

Donc, r accroissement élémentaire du carré de la vitesse est égal au double produit de l'accélération par la projection du chemin élémentaire sur l'accélération.

Accélérations des divers ordres.

22o. Nous avons vu que la vitesse et l'accéici'atioii d'un point mobile sont les deux premières dérivées de la droite OM =■ m qui fixe la position de ce point. Ou appelle accélérations des divers ordres les dérivées suc- 11 delà de la deuxième, c'esl-à-dire m'" = -rj^^

Cberchons à décomposer une accélération d'ordre quelconque m'/"' en une accélération tanfjentlelle et une

ifPLICA'riONS CLNÉllATlQUIiS. 377

accfJldralioQ normale, comme nous l'avons fail [jour l'accélération ordinaire (218). La vitesse étant toujours mise sous la forme vs.^, on aura

en appelant (p,^p el (V/jjp les deux composanles. De ly,

par dérivation el en se rappelant toujours <[ue — ^ -,

Donc

ce qui fournit une méthode générale pour déterminer ies composanles, puisqu'on en connaît les premières valeurs -j- et — répondant àp^^ 2.

Dans ces calculs se présenteront évidemment les dérivées successives de p. On peut leur donner une interprétation géométrique avantageuse; car on a tout d'abord

dp dp-da e

di ~ d<\ dt ~ ' ' p '

en appelant pi le rayon de courbure de la développée de la trajectoire.

D'une manière générale, si p,; est le rayon de courbure de la p''"'" développée,

dt '""" p

En faisant ces substitutions au fur et à mesure, on introduira donc les rayons de courbure des développées