SECONDE PARTIE. — CIUPITKIÎ IX

successives, au lieu d'expressions analytiques d'uni' interprétation concrète peu saisissable.

On trouve ainsi, pour les composantes do h suraccc-

= ^''^, «. ^. 3 !: ^" - ."- a '''' dl'- p- "■' (. dt p^ ' '

226. On peut avoir intérêt à décomposer une accélération d'ordre quelconque suivant le rayon vecteur CM, et perpendiculairement à cette direction. On aui;i

d'où, par dérivation, c'est-à-dire

en appelant m' la vitesse angulaire --j-- Ces formules donnent la solution du problème proposé.

227. Soient MU„, MUp deux accélérations dVirdnquelconque. On a

aii'e(MU„U„) '^-- U"'"' cj ■«(/>( - mIc' cjm'"'), et, en prenant les'dcrivces,

(î-l) (D aire (MU„Up) = aire (MU„+iU,0-i-^ii'e(M'J,^U;.n), généralisation de la propriété du n" 223.

APPLICATIONS ClNf.lIATIQUES. a^l)

Si les deux accélérations sont conséciUives,

(a5) (BaiL-c{MlJ„U„+i)= aire (MU^U,,.,.,).

Mouvement d'une figure plane sur son plan.

228. Soit i^fig- 71) une figure de forme invariable qui subît sur son plan un déplacement fini, de telle

sorte <ju' une droite primitivement en OX vien t en 1 X| . Posons 00, = A, et appelons a l'angle des deux directions OX, 0|X,. Nous aurons évidemment

O étant l'origine.

Appliquons celle relation au point ti déTiTii par l'équipollence

(2) s = A + SE'^ on a, = >

et nous reconnaîtrons que le point sera resté immobile, c'esl-à-dire que le mouvement considéré équivaut à une rotation autour de ce point.

La construction de il se fait de la manière la plus

simple, en Lraçaiit sur 00, comme base le triangle isoscèle OQOi dont ['angle au sommet ù est égal à a.

S'il s'agit d'un mouvement infiniment petit, le point iJ prend le nom de centre instantané de rotation, et la formule (2) devient alors

229. Considérons maintenant le mouvement continu d'une figure plane. Soient M la position prise, à l'instant (, par le point qui coïncidait d'abord avec l'origine O, et \ l'angle total dont a tourné la figure à cet instant t.

Nous voyons, d'après le numéro précédent, que si nous appelons iî le centre instantané de rotation, nous

Cette équipollence, où m et X sont fonctions du temps, nous représente le lieu des centres instantanés sur le plan fixe.

Si nous ramenons la figure mobile à sa position initiale, en supposant qu'elle entraine avec elle te point il et que celui-ci vienne ainsi en Aq, le lieu des points A,, sera évidemment donné par l'équipoUonce

(5) »•="-' Si-

Nous avons ainsi ramené à l'origine le lieu des centres instantanés liés à la figure mobile.

Le roulement de la courbe (5) sur la courbe (4) représente le mouvement.

Un point ayant Xq pour position initiale et entraîné

AI'PLICATIONS ClKÉ.llAllQUKS. ■381

parla figure moijile viendra, à l'instant /, en un pulnl >C tel que

QuanL à la courbe roulante, si nous la considéroiiri dans une position (quelconque répondant à l'instant /', elle aura pour équipollence

, ■ > '^S' Xi ( • 7' if^'

Ici nous devons considérer (' eomme fixe et ( comme variable indépendante. Si l'on donne à i la valeur t' , on tombera évidemment sur l'expression (4), c'eslà-dire que A coïncidera avec û.

Pour cette valeur particulière t' , la différentielle de A,

se ïcduLi à

On rcconnail. donc que les deu\ courbes (£i) cL (A) sont tangentes au point considéré et que les vitesses sont égales, ce qui montre bien que l'une de ces courbes roule sur l'autre sans glissement.

D'après la relation (6), la vitesse d'un point qucl-

inque X est

.dX I

dt \ Or, en relrancliant (4) de (6),

yGoosle

En diffcrenùant cetle relation (8), nous ti'oif ans peine, pour l'accélération du point X,

. d\ du

-dï^~^"'-"'\dï} -^-"■-"'di^-'-'dï dï-

Ce résultat connu se prête k un Ànoneé i'acilo en langage ordinaire.

En différentiant l'équipoUence (0), on peul aussi mettre l'accélération sous la forme

^"'' ~dt^ ~ 'dt' ""' \dc) '^ '^°^' d'i' '

qui est également d'une interprétation aisée.

Cherchons, en partant de la formule (9) par exemple, la condition pour que l'accélération s'annule. En appelant U le point pour lequel il en est ainsi et désignant par w la vitesse angulaire -^. nous aurons

" dt ' \d\

c'est-à-dire que, pour chaque position de la figure, il v a lin point (centre des accélérations) et un seul poiulequel l'accélération est nulle.

On peut écrire encore {Jîg'- 72)

liV yi , . ^^ j '-<%;, ■ ai '

„,- / . du> A .du

Cela nous montre que la perpendiculaire élevée en U à la droite iïU coupe la direction de la tangente coni-

APPLICATIONS CIJIÉJUTIQL'ES. '.

mune avis coupbcs roulanLcs en un point A, (.cl r|uc do. . àfM

dt ' dl

cX la normale commune en un point 13, l.el que

Si la vitesse angulaire (o esl constante, le ceiUrc do

accélérations se réduit au point B, lequel esl d'ailleurs indépendant du temps, puisque l'on peut écrire

Pour cette raison, on donne souvent au point B la dénomination de centre géométrique des accélérations.

ïKCONDE PAinii;

™ = 7,7ï^ (,»■'- 'WJ

ol l'on verrait que la perpendi cul aire à MU coiipc respectivement l'accélération du point M et une perpendiculaire à cette accélération en deux points A' ot B', tels