HO

Si Z esL un point quelconque de la figure mobile, le rapport géométrique =7y ^ jj. devant être indépendant du temps, on déduira de là (a) z=(i-;i)x^-|.tY,

et cette équipollence sera celle du mouvement de Z.

De celte équipollence (l'.), on peut tllver queIquc^ priéiés intéressantes. Si nous en formons la déiv

API'LICAIIONS ClfifiJUTlQUl'S. .187

Ajoiilani (2) et (3),

z -F (Dz ^ (1 " |a) (ï -i- ffl\) -I- 11 (y h- (Sr)

ou, si nous appelons XX,, YY,, ZZ, lus vitesses des points considérés,

(4) Zi-(i-;/)>:,-.-;^Y„

Cetle dernière é<]uipo]lence exprime que Se triangle X,Y|Z( est directement semblable à XYZ.

Au lien de prendre la première dérivée de i'équipollence (2), nous aurions pu prendre la dérivée d'ordre n quelconque, et nous aurions eu ainsi

relation qui exprime que te triangle X„Y„ Z„ est semblable à XYZ, en représentant par XX,„ YY„, ZZ„ les accélérations de même ordre quelconque.

De là ce théorème :

Une figure plane qui reste semblable à elle-même étant mobile sur son plan, si l'on trace les vitesses {ou les accélérations de même ordre quelconque) des divers points qui la composent, les extrémités de ces droites formeront une figure semblable à la pre-

Eu particulier, et comme corollaire immédiat :

Si les extrémités des vitesses [ou des accélérations') de deux points coïncident entre elles, ce point commun est en même temps l'extrémité des vitesses {ou des accélérations) de tous les points de la figure au même instant.

232. L'équipoUence (3) nous montre qu'il y a, i chaque instant, un certain point de la ligure dont hi

■J.S8 SECONDT! PARTIE, ~ CHAPITRE W.

vitesse est tiullo. Il suffit, en eilet, pour trouver ce point, d'écrire

(i — ;i)®x-i- iiffiï ^o, d'où

^~ iBs — ŒH-'

Si (X'), (Y') sont les hodograplies {^fig'- j'i) des mouvemeuls de X et Y, on aura donc

si Lien que, pour avoir le point cherolié U, il n'y aura qu'à construire le triangle XYU directement semblable àX'Y'O.

Ce point, qui reste immobile dans le mouvement élémentaire, est ce qu'on pourrait appeler le centre in- Uantané de rotation et de similitude ou, plus simplement, centre des vitesses.

Des relations précédentes, on dédoit

ffix (Dv UX ~ UV '

et il s'ensuit qu'en joignant le centre des vitesses à tous les points de la figure mobile et en menant les vitesses de ces points, on forme des triangles UXX,, UYY,, ..., qui sont tous semblables entre eux.

On reconnaît qu'il existe de même un centre des accélérations pour les accélérations d'ordre quelconque, cl que l'on obtient des propriétés analogues.

Mouvement d'un point pesant dans nn milieu résistant.

233. Soient (M) la trajectoire; /-l'accélération (fonction ou non du temps) que produirait la résistance du

APPLICAÏIOHS CINÉMATIQUES, -iSg

milieu; g l'accélération due à la pesaïUeur, dirigée suivant la verticale, que nous prenons pour origine des inclinaisons.

Si nous appelons l'inclinaison de la vitesse en M et ds l'élémenl de trajectoire correspondant, il est clair que l'éqiiipollence du mouvement peut s'écrire

D'un autre côté, l'accélération totale se compose de g^ d'une part, et de r, dirigée suivant sa tangente, mais en sens contraire du mouvement. Donc

Or, en prenant la seconde dérivée de (i), il vient

' dt dt ~^ ^ di'^ '

Identifiant les expressions (a) et (3) et divisant par s"*, nous avons

dt' ' de dt '^ "

cl, en égalant les parties réelles et imaginaires,

dl dt[ ^ ^'" '

Telles sont les detix équations difFérentielics du raotiveraent cherché.