MUT.T1PUCATI0N ET DIVISION DES DROITES

vartl la bissectrice de l'angle ÂOB. De plus, nous avons

ang.BMO ^ang.MAO.

Donc

ang.BMO -i-ang.OMA^ang.MAO-i-ang.OMA = 180°— ang.AOM; c'est-à-dire

aiig.BMA = i8o-— ang.AOM.

Mais l'angle AOiVI est la moitié de l'angle AOB =: dos deux droites OA, OB.

Nous aurons donc la droite cherchée OM en construisant sur AB un segment capable du supplément de — j de telle sorte que l'origine O soit à l'intérieur de la circonférence ainsi décrite, et en coupant ce segment par la bissectrice de l'angle AOB.

Considérée du côté opposé à M, la circonférence présente un segment capable de - et elle est coupée par la bissectrice en un nouveau point M'. 11 est visible que les deux triangles OAM', OM'B sont semblables eux aussi, d'où

et que, par conséquent,

0M' = - OM répond aussi à la question.

De même, en Algèbre, l'équation - ^ -^ a pour racine, soit -\- ijab, soit — sfâb.

Il est facile de reconnaître, par l'examen des inclinaisons, d'où provient la double solution. Si

gr.OA-a, gr,OB = b, inc- OA = a, ioc, OU = (3, l'équipollence de définition donne nécessairement gr. OM -r= if^

et de plus

Mais, pour conserver à la quesLÎon toule sa généralilé, il faut donner aux inclinaisons a et p (23) les formes les

plus générales

mc.OM=T ^?-ll^ --/c.tëo".

Si k est pair, on aura la direction OM ; si k esl impair, on aura la direction contraire, ce qui correspond à la solution OM'.

\jA fig. Ç) montre que si réciproquemenl, parle milieu O d'une corde MM, on mène deux droites OÂ, OB également inclinées sur cette corde, jusqu'à lacirconférence, les deux triangles OAM, 0MB seront semblables et qu'il en sera de même des triangles OAM', OM'B.

U est important de remarquer que la moyenne proportionnelle de deux droites ne dépend en rien de la droite choisie dans le plan pour origine des inclinaisons.

Calcul des droites. — Théorème général.

34. Si l'on a suivi avec quelque attention les règles de calcul que nous avons exposées, soit dans le premier Chapitre, soit dans celui-ci, relativement à l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, on a pu reconnaître qu'elles sont absolument identiques à celles de l'Algèbre ordinaire.

Or, toutes les autres opérations de l'Algèbre dérivent de celles-là, et par conséquent nous seronsamenés, dans tous les calculs possibles, dans les formations de fonc

mi;ltiplication et ihvisson des LRoniiS, ■).<}

lions quelconques de droites, à des transfonnalions pareilles à celles du calent algébrique.

Sans entrer dans ancun détail d'opération, nous pouvons donc énoncer dès à présent ce principe fondamental d'une importance extrême à cause de sa généralité :

On peut faire subir aux équipollences relatives aux figures planes toutes les opérations et transformations qui sont légitimes pour les équations algébriques.

3S. Il y a cependant, à l'avantage de la inéthodc des équipollences, une différence non pas véritable, mais apparente : c'est qu'on ne voit nulle part s'j introduire la notion de l'imaginaire. Pour faire comprendre ce point, nous nous contenterons d'examiner l'extraction de la racine n"™^ d'une droite quelconque, et nous allons voir apparaître d'elles-mêmes les n solutions distinctes, tout aussi réelles les unes que les antres.

Soit OX = v'OA. La définition de cette opération provient de l'équipollence