OA ^ (ÛX)"^- OX.OX. . .OX
Donc
gr.OA^(gr.OX)'S d'où gr.OX = 'v^gTTOA.
Jusqu'ici, nulle ambiguïté, les longueurs étant toutes essentiellement positives.
Arrivons maintenant aux.
ou, plus généralement (23),
Il viendra
3o PllEMlfeRE rATtlIE. - CllAPlTUn II.
Il est clair qno, pour avoir toutes les directions possibles de OX, il faut donner à k une série de n valeurs consécutives entières quelconques, par exemple o, I, a, ..,, n — I. Delà, par conséquent, n directions, inclinées successivement les unes sur les autres de
l'angle ; et les n valeurs de OX., ayant toutes
même longueur, figureront assez exactement les rayons d'une roue de voiture. Ce seront les n racines n''™" de OA-, différentes les unes des autres, mais toutes réelles,
36. Il nous semble inutile de pousser plus avant les considérations particulières sur le calcul des droites. Ce .calcul trouvera des développements utiles dans les applications, et sera facilite par les signes que nous avons encore à introduire, et par les principes qu'il nous reste à exposer.
Cependant, il est une observation, d'un caractère complètement général, qui nous paraît devoir trouver sa place dès maintenant dans notre exposition. Nous avons dit, dans tout ce qui précède, que le résultat d'une opération quelconque sur des droites était une droite. Cela est rigoureusement vrai dans l'hypothèse où nous nous sommes placés, c'est-à-dire en supposant que l'unité de longueur soit déterminée sur la figure. Mais, pour toutes les propriétés qui ne dépendent pas du choix de cette unité, la loi de l'homogénéité doit conserver toute son action, aussi bien ici que dans la Géométrie analytique ordinaire. Nous serons ainsi conduits, bien souvent, à employer dans nos calculs des expressions qu'il n'est nullement nécessaire de traduire en droites eHectives et qui seront de divers degrés, positifs, négatifs ou même fractionnaires. Ainsi OA^ deviendrait une droite en introduisant le dénominateur
llULriPLIGATIOX 1
01^ I, ce qui donne
0X3 = ÔÂ^' £/OAî=î/OA^OP, ....
Mais il nous sera commode bien souvent de considérer en eux-mêmes les rapports de droites, que nous pourrons appeler nombres géométriques. Ainsi soit ^^i
gr.0A = 3 gr.OI, nc.OA^6o°,
r.0TÎ = 4 gr.OI,
Le
bre j^-=! que nous pourrons au besoin figurer par une seule lettre, aura pour nous la grandeur -j et l'inclinaison 20", sans qu'il soit nécessaire de le concevoir autrement que comme un rapport de deux droites.
37. D'après les développements qui précèdent, on a \u la concordance absolue entre les règles du calcul algébrique et celles du calcul des droites. Si nous considérons maintenant une identité algébrique quelconque, nous pouvons la regarder comme exprimant une propriété de points situés en ligne droite. Mais, en supposant les quantités algébriques remplacées par des droites, l'identité n'en subsistera pas moins, et l'on aura par suite une propriété correspondante de points situés sur un plan d'une manière quelconque.
Far exemple, l identité + := ]
peut se traduire ainsi : « Soient A., B, C, D quatre points en ligne droite, M, N, P, Q les milieux des segments AB, BC, CD, DA; le milieu du segment MP sera le même que le milieu du segment NQ. »
Zl PniiJlIÈiiH l'Altlili. — ClIAPITHL II.
Si nous remplaçons a, b, C, d par les droites quelconques OÂ, OB, OG, OD du plan, nous aurons la même îdentilé, mais qui se traduira par l'énoncé suivant : » Si M, N, P, Q sont les milieux des côtés successifs d'un quadrilatère ABCD, les droites MP, NQ se coupent mutuellement en parties égales; ou encore, les milieux des côtés d'un quadrilatère sont aus sommets d'un parallélogramme. i>
Cet exemple a pour but unique d'éclaircir ce qui précède, et, sans plus de détails, nous pouvons malntcnanL énoncer ce théorème très général :
A toute identité algébrique correspond un théorème de Géométrie plane, par le seul changement de l'égalité en équipollence .
Du signe de perpeudicularité.
38. Parmi les nombres géométriques (36) que nous pouvons considérer dans la théorie des équipoUences, il en est un dont l'usage est tellement fréquent, qu'il y a un grand avantage à le représenter par un signe spécial, au moyen duquel on représentera ensuite tous les autres nombres ; c'est celui dont la grandeur est égale à l'unité, et dont l'inclinaison est -\- 90". Nous désignerons constamment par ( ce rapport, dont les premières propriétés sont bien faciles à établir.
Menons par l'origine O i^fig- 10) une perpendiculaire à l'origine OX des inclinaisons, et portons quatre longueurs OA, OB, OG, OD égales entre elles (et par exemple égales à l'unité), suivant les quatre directions OX, OY, OX', OY', ainsi obtenues. Il est évident que nous aurons
