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34 PRKMlÈlili PAIlTlli. — CHAPITRE II.
Les puissances successives du symbole i sont donc exactement les mêmes que celles du symbole algébrique y/ — I, et cela noiis permet de formuler ce principe :
Le symbole i dans le calcul des équipollences sera soumis aux mêmes règles que le symbole \l — i en Algèbre,
39- Un premier usage cvidenl du signe que nous venons de définir consiste dans la possibilité de représenter la rotation d'un angle droit appliquée à une droite OM. Il est bien clair en effet qu'en multipliant cette droite par i nous obtiendrons une droite OM' égale à la première, et formant avec elle un angle MO M'— + 90".
En multipliant OM par — t^: -v, on fait au contraire tourner cette droite d"un angle droit dans le sens négatif.
En général, OM X i" représente ce que devient OM après avoir subi une rotation de n angles droits dans le sens positif; et OM x (— [')" représente ce que devient OM après avoir subi une rotation de n angles droits dans le sens négatif.
Si nous cherchons à étendre ces formules, il est bien facile de les interpréter dans le cas où n cesse d'être un nombre entier. En prenant l'angle droit (ou le quadrant) pour unité, si un angle œ est mesuré par jo, nous dirons que OM x iP nous représente ce que devient OM après avoir subi la rotation de l'angle c. dans le sens positif.
Le symbole i, considéré isolément, représente une droite égale en longueur à l'unité, et dont l'inclinaison est +90". De même, ('' représentera une droite de longueur égale à l'unité, et dont l'inclinaison <x est me-
surée par le nombre p, quand on la rapporte à l'angle droit.
Il est à peine nécessaire de démontrer la relation ( — V)P = ( - I ^ i~P, tellement elle est une conséquence directe de t =^— t. Mais l'utilité de celle formule est extrême, puisqu'elle permet de représeuter toute droite de longueur égale à l'unité par la formule iP, aussi bien dans le cas des inclinaisons négatives que positives. On voit d'ailleurs que Ton a
puisque i'-^i. Toutes ces droites ont en effet la môme direction.
Puisque la droite de longueur i et dont l'inclinaison a est mesurée parjD s'exprime par iP, il est clair que la droite quelconque OM, dont la longueur est r, peut se représenter par
OM ^. riP.
Représentation nouvelle des droites- — Signe e.
40. Prenons la même droite OM que dans le précédent et abaissons du point M (yî^. ii)laperpi
dieulaire MQ sur l'origine des inclinaisons. Nous avons OM = OQ + QM.
36 pniîMitiRE PAHTIIÎ. — cmai'itiie ri.
Si nous appelons x et y (en grandeurs el en signes) les coordonnées, positives ou négatives, OQ et QM du point M, il est bien facile de voir que l'on a les éqiiipollences OQ = x,QM = y i.
Par suite, la droite OM peut encore s'esprimer par la formule (I) Q\\-^œ+yi.
Sous celte forme, apparaît l'identité entre les quantités géométriques, que nous étudions dans le présent calcul, et les quantités imaginaires de l'Algèbre.
ai. Reprenons l'expression riP d'une droite quelconque donnée dans le n" 39. Si, au lieu de rapporter les arcs au quadrant pris pour unité, nous voulons les rapporter à l'arc de longueur égale à celle du rayon, comme on le fait en général dans toutes les formules de la Trigonométrie, il est bien évident que les deux mêle rapport- ^ -■ Donc if^ t" .
Mais, l'exposant - intervenant alors dans tous les calcals, il est bien plus simple de poser une fois pour toutes
i étant un nouveau symbole défini par t
;etEe équipol-
lence. On a alors, pour l'expression de 1
ia droite OM,
