AC

,oYlen.

CB+ BC, =^ CA + AC, deviendra

d'où, égalant les coefficients de a et de b,

û;{i^k) = i^y, i — x^-ky,

- /cM-/:h-i

le rapport -^^ est évidemment i

EXËHGICES DIVEHS,

On a donc, par raison de symétrie, G, B' A, G B, A! k--

ce

AA'

De là encore cette conséquence

ÇB' __ Aj C' Ri A' , Ailî ~~ IÏ,C ^ GAi ~

Nous laissons au lecteur le soin de la discussion, selon les diverses valeurs positives ou négatives de k.

74. Théorème. ^ Si par un point quelconque E {fig- i8), pris à l'intérieur d'un parallélogramme ABCD, on mène des parallèles HG, FK aux deux côtés, les trois diagonales AC, FG, HK concourent en un même point.

Soient AB = b,AF^/b, AD ;= d, AH =- /(d.

On a

AL = AF + FL ou .r AG = AF + jFG, c'est-à-dire

:riB-.-D) = fi,-.-y(B + hn-fB).

yGoosle

7('i SECONDE PARTIE. — CHAPITRE 1.

Delà

La symétrie de celle valeur en / et A prouve qu'on trouverait la même expression en cherchant l'intersection de AC et de HK, ce qui démontre la proposition.

75. Théorème. ■ — Les milieux des trois diagonales d'un quadrilatère complet sont en ligne droite.

Soit {fig. 19) ABGDFH le quadrilatère.

Fie- ^9-

Posons AB^B, AF=/b, AD = d, AH=/jd. On a (17), G étant sur chacune des droites BH, DF,

AC = c = ^b + (i-:b)Ad=jd + (i-j)/b.

Delà

et c peut s'écrire encore

Or les milieux I, K, L des diagonales sont donnés par

De là

KT = i[(^-l)BH-(/-l)D]=-^(^B^^«)||/7B-ft^D,

d'après les relations qui précèdent.

Par conséquent, Kl [| LI, ce qui montre bien que les trois points K, L, I sont en ligne droite.

76. Théorème, — Les bissectrices des angles exlérieurs dhtn triangle rencontrent les côtés opposés en trois points situés sur une même ligne droite.

Soient ABC le triangle, a, b, c les longueurs de ses côtés, AA' la bissectrice extérieure de l'angle A, terminée au eôté BC. Prolongeons BA d'une longueur AD égale à AC. Alors AD = ^ BA, AA' ---. x (\C + ^ BA) , et nous avons

Donc, lîA'= -%BC. Par symétrie, CB'= ~'~ CA, AC'= T ■ ÂB. Par conséquent,