AX.BX = H
a élanlune quantité géométrique donnée.
Les cas (i") et(a°) ont été résoins pins haut (77, 79). Le dernier (4") conduit immédiatement à une équipollence du second degré (71).
Bornons-nous donc au troisième. Posons
a = — AB.AD,
de telle sorte que BAD sera égal à la somme des deux angles à la base.
Prenons A pour origine des droites, ÂB pour origine des inclinaisons. L'équipollence devient
AX(cjAX — AB)= — AB.AD, et l'équipollence conjuguée est
cjAX(AX — AB)=— ABcjAD.
Retranchant et divisant par AB, on a
AX ^ cj AX = AD — cj AD ou DX = cj DX,
ce qui nous montre que DX est parallèle à AB. Eliminons maintenant cj AX et nous obtenons
Xx^ — (AB + AD — cjAD)AX-i- AB.AD = o,
équipollence du second degré facile à résoudre (71 ). On trouvera toujours deux points X. Mais si ces
points ne lombent pas sur la parallèle à AB menée par le point D, le problème est impossible. La condition de possibilité est facile à trouver en étudiant la construction.
Il est bon de remarcjner, d'une roanièrc générale, qu'en combinant une équipollence avec sa conjuguée, on peut très bien trouver des solutions qui ne satisfassent plus à la première équipollence. Donc, comme dans le calcul algébrique ordinaire, il importe toujours de vérifier et de discuter les résultats.
Propriété du quadrilatère.
i^6. BcV\dc-,iikèb{d—c)-\-d{c — b)^-c{b — d) = o, nous concluons (37), quel que soit le point A, l'équipoUence identique
AB.GD-H AD.RC^AC.Di5^-=o, qui exprime une propriété géométrique du quadrllalètc ABCD.
Les trois termes doivent être respectivement équipollenls aux trois côtés d'un triangle.
Si inc{AB.CD)= inc{AD.BC), ce triangle se réduit à unellgne droite, ce qui donne
grCAB.GD) + gr(AD.BC) = gr(AC,BD), c'esUà-dire que, dans tout quadrilatère dont les angles opposés sont supplémentaires, le produit des diagonales est égal à la somme des produits dés côtés opposés.
Si inc((VB.CD)~inc(AD.BC) = it9o% le triangle en question est rectangle. On déduit facilement de là que la somme des angles BAD, DCB est de 90° ou 270". De là, en appliquant le tbéorème du carré de l'hypoténuse, nous tirons cet énonce:
EXERaCES BIVEBS. 87
Si la somme des angles opposés d'un quadrilatère est de un ou de trois droits, le carré du produit des diagonales est égal à la somme des carrés des produits des côtés opposés.
Sigr(AB.CD) = gr(AD.BC), ona(26)
inc(AB.CD)M-mc(AD.BG) = 2inc(AG.DB).
11 est facile de donner à celte égalité la forme angBAC -+- angCBD -+- angDGA-i- angADB = 180'; d'où ce théorème ;
Si les produits des côtés opposés d'un quadrilatère sont égaux, la somme des angles que forment successivement les diagonales avec les côtés, dans un même sens de rotation, est égale à deux droits.
. Si angBAC = angCAD^Ôo", et qu'en même temps les trois points B, C, D soient en ligne droite, on reconnaît sans peine que le triangle formé par les trois termes AB.CD, AD.BC, AC.DB est éqniangle. Donc
gr(AB.CD)=gv(AD.BG)=gr(AG.DB);
c'est-à-dire que, si les trois droites AR, AG, AD, formant entre elles deux angles successifs de 60°, sont coupées pa,r la droite BCD, les grandeurs des trois produits AIB.CÏ), AD.BC, AC.DB sont égales.
Toutes ces propositions sont, on. le voit, de simples conséquences de l'équipollence identique écrite au début.
Points en ligne droite.
87. Nous avons déjà (17) exprimé la condition pour que trois points A, B, C soient en ligne droite ; si nous posons OA = A, OB = ]i, OC^c, cette condition s'es-
8b SECOWDL CAliTIE, — CHAPITRE II.
prime par l'équipoltence pA + yii 4-;-c ^ o, /), y, étant trois coefficients i^ui satisfont à l'égalité
Donc, écrivant l'équipollence conjiiguée, (jue^, q, r satisfont aux trois relations
ir qu'il y ait un système de Yaleu) à ces relations, il faut
i CJ9. CJIl CJC !
Nous avons ainsi, sous une nouvelle forme, !a condition pour que les trois points A, ?>, C soient en ligne droite.
Droites concourantes.
88. Clierclions la condition pour que les perpendiculaires aux extrémités des trois droites OA = a, OB^ni, OC=:c se rencontrent en an même point.
Nous aurons les éqaipollences
et, par suite, les éqnipollences conjuguées
cJA(i — a:0 = cJB(i— jj)^cJG([ — Si).
Éliminant a::, j, z entre ces quatre relations, il vient
acjaCrcjc — ecJB}-t-BCJU(CcJA — ACJC)
-HCC3C(AfiiD — BCjA) = 0,
relations qui expriment ia condition cherchée.
On peut évidemment l'écrire
gr'OA.aii-c OBC + gr^OB.aii'R OCA + gr' OC. aire OAB = o.
Mais il est possible aussi de la transformer aiilrement. Si en effet nous remplaçons Bcjc — ccjb, ... par ipt , iq, , ir, , il est évident que nous aurons à la fois
Picix-h q, cj B + /-i c cj G = o,
7)iAcJA-^9', BCJB + riccjc = 0.
La condition ci-dessus s'écrit donc encore
Le déterminant que nous avons ici se déduit de celui du numéro précédent, en y remplaçant a, b, c par —!~! -:— I -=-■ Il est aisé d'interpréter s-éométrique-
89. On peut se proposer de généraliser le problème et de chercher la condition pour que trois droites quelconques AA', BB', ce se rencontrent en un même point.
Soient OA = A, OB:^B, OC^c, AA' = a', BB' = b', CC'=c'.
Nous devons avoir
go SECONDE PAUTii;. ~ CHAPITRE ii.
si entre ces équipollcnccs et leurs conjng^uces
CJA-+a^CJA.'= ciQ-l-JCJB'=CJC-ï-«CJG',
nous éliminons les quantités algébriques x,y, z, nous obtiendrons la condition clierehée. On trouve ainsi
(ACJ*' — A'CJA}(B'CJC' — C'CJB')
+ (B cJB'— B'cj d) (c'cj a'— a' cj c') -i-(ccJG' — c'cjc)(A'cJB'— a'cJA')=o ou aii-e OAA'Cb' cjc' — o' cjn') -^ aife OBB'{c'cj a'~ a'cjc')
-FaireOCC'(,v'cJB'-B'cJA')=o.
Il est facile de voir qu'on peut encore écrire cette condition sous l'une des formes suivantes :
rjA' cjo' cjc' I =0,
j aireOAA' aireOBB' aireOCC 1 (G — B)A'ciB'cjc'H-(cjC — CJe)cji'.B'i:'
+(a— g)b'cJc'cJa'-+-Ccj* — cjc)cjb'.c'a' -I-(B — A)c'cJA'cJB'-!-(cJD — cja)cjg'.a'd' = o,
(g— B)A'cjB'ciG'^-(\— G)B'ciG'cJA'-H(B — A)c'ciA'cJB'||l.
Dans toutes ces diverses formules, il est clair qu'on peut multiplier a!, b', c' par des nombres réels quelconques sans altérer la condition; par conséquent, on peut introduire à la place de ces droites e"', eP, si', en appelant a!, p', Y leurs inclinaisons respectives. Si l'on pose en outre gr OA =: a , gr OB = b , gr OC = c , et angOAA'=Â, angOBB'=B, angOCG'=C, la condition pourra s'écrire sous l'une des formes suivantes : I zy-' t?' ïT' I
1 asinA bsiiiB caiiiC | BG.eï-;i'-ï'-V-CA.;3'-ï'-ï'+ AB-^ï'-ï'-P' 11 i.
On reconnaîtra sans peine que ces diverses expressions de la condition cherchée se réduisent à celles dii numéro précédent, lorsque l'on suppose que les droites AÂ', BB', GC sont respectivement perpendiculaires à OA, OB, OC.
