PRÉFACE DU TRADUCTEUR

La Méthode des ÉquipoUentes de M. BellaviLis esl peu connue en France, et seulement depuis quelques années. A la suite d'articles sur le Calcul directif, publiés eu 1868, dans \f!s Nouvelles Annales de Mathématiques, par M. Abel Traiison, celui-ci eut occasion de signaler les travaux poursuivis depuis longtemps, en Italie, par M. Bellavitis; puis, l'année suivante, M. Houël, professeur à la Faculté des Sciences de Bordeaux, publia, dans le même Recueil, une intéressante exposition abrégée de la Méthode des Equipa llence s.

« Aucun des auteurs qui ont traité ce sujet, dit M. Houël, n'a présenté la méthode avec autant d'étendue que le savant professeur de Padoue, dont les travaux remontent a l'année ]83a; aucun ne l'a exposée sous une forme aussi simple et aussi bien appropriée au sujet. »

Il me semble difficile de ne pas être de cet avis, si peu qu'on soit initié à la méthode en question. Peut-être n'eslil pas inutile de rappeler ici rapidement en quoi consiste celte méthode, remarquable ei féconde.

On y considère les droites tracées sur un plan dans des directions quelconques; puis, les représentant par des notations qui impliquent à la fois la grandeur et la direction, et cherchant à exprimer les relations géométriques qui

(') Cette Préface a été publiée en tète de la traduction franc de l'Ouvrage intitulé : Exposition de la méthode des Équipollen de Giusto Bellavitis. Nous croyons devoir lu reproduire sans y changer.

X PRÉFACE DU TH.VBUCTEUll.

lient entre elles les diverses parties des figuves planes, on arrive à établir un calcul (Calcul des Équipollences) dont tes règles sont les mêmes que celles du Calcul algébrique ordinaire. On voit que, de la sorte, on se trouve mis en possession d'un instrument analytique facile à manier, et dont l'usage est très général en ce qui touche la Géométrie plane. Je ne parle que pour mémoire de la fécondité de cette méthode : il suffît, par exemple, pour s'en convaincre, de parcourir un numéro quelconque de la Rivistà di Giornali que publie M. Bellavitis.

Mais là ne se bornent pas les avantages du Calcul des Équipollences; il fournit en outre à l'Âlgèbve et à l'Analyse des objets géométriques réels à la place do symboles imaginaires. Cependant il est indispensable de bien distinguer la méthode d'Analyse géométrique et ses applications à la Géométrie, des applications analytiques auxquelles cette théorie se prête si heureusement. C'est d'ailleurs un sujet sur lequel j'aurai occasion de revenir tout à l'heure.

Le grand intérêt qui s'attache à la Méthode des Equipollences me fit croire qu'il ne serait peut-être pas inutile de continuer l'œuvre entreprise par M. Houël, en cherchant à répandre, d'une façon plus complète encore, les idées de M. Bellavitis sur celte matière. Choisissant l'ouvrage le plus récent et le plus développé de l'illustre géomètre italien, j'en présentai la traduction aux rédacteurs des Nouvelles Annales de Mathématiques; ceux-ci partagèrent ma manière de voir sur l'opportunité d'une semblable publication, et voulurent bien accueillir mon manuscrit, qui fut inséré en une suite d'articles, dans le courant des années i8j3 et iS^^- C'est cette même traduction de \' Exposition de la Méthode des Équipollences que je viens aujourd'hui présenter au public sous forme d'un volume séparé.

Cet Ouvrage remonte à iSSi. Il fut publié à Modène, après avoir paru d'abord dans les Mémoires de la Société italienne (dite des vYL), t. XXV, W" Partie.

PRIÎFACE nu TRADUCTEi;!!. \l

Avant et depuis cette époq^ue, M. Bellavitis a publié sur les EquîpoUences de nombreux travaux ; on trouvera plus loin la liste des principaux d'entre eux. Dès le mois d'octobre i832, dans les Annales de Fusinieri, i. Il, p. a5o- 353, il avait donné un théorème 1res important et très général sur les propriétés de points quelconques d'un plan, déduites de celles de points en ligne droite; il traitait en même temps de plusieurs questions géométriques fort intéressantes : c'est là qu'il faut chercher en définitive la première origine du Calcul des Équipollences.

Il est juste de dire qu'antérieurement de nombreux travaux avaient été faits dans le but d'interpréter les quantités imaginaires par des droites inclinées, tracées sur un même plan; mais dans aucun on ne trouve la simplicité, la logique d'exposition de M, Bellavitis, et de plus lui seul s'est placé nettement sur le terrain géométrique, sans préoccupations analytiques introduites apriori.

Celte interprétation géométrique des quantités imaginaires peut être considérée comme définitivement adoptée désormais dans la Science; c'est la dernière à laquelle paraît s'Être arrêté Cauchy, comme il le dit si nettement au début de son beau Mémoire sur les quantités géométriques [Exercices d' Analyse et de Physique mathématique, t. IV, p. 157; 1847), et l'on sait quels merveilleux résultaU analytiques il a su déduire de là.

Avant lui, etpar ordre dédales, il y alieu de citer surtout:

Henri-Dominique Truel, qui aurait conçu l'idée fondamentale des quantités géométriques dès 1786, s'il faut s'en rapporter à Cauchy;

Buée (1806);

Robert Argand, de Genève, dont l'Ouvragé, longtemps épuisé, vient d'être réédité, ce qui est un grand service rendu a l'histoire de la Science (');

(') Essai sur une manière de représenter les quantités i ginaires dans les constructions géométriques ; 1806. { P< Gauthier-Villars, 1874.)

XII PRÉFACi; DU THABUCTKUR.

Frasçais, Vallès (i8i3 et suiv.);

MocRËï, auteur de la Vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires {182S, réioà-

Faure, deGap(i845);

Saint-Venant, etc.

Si nous passons aux travaux récents relatifs à cette matière, nous devons remarquer particulièrement ceux de MM. Briol et Bouquet sur les Fonctions doublement périodiques et la Théorie élémentaire des quantités cornplexes, par M. Houël, œiivre dont la publication complète n'est pas encore entièrement terminée.

C'est vers l'époque où ce dernier et remarquable Ouvrage commençait à paraître, que M. Transon publiait sur le Calcul directif les articles dont j'ai parlé plus haut. Il s'y attachait surtout à faire ressortir les avantages que présentent les nombres directifs de Mourey, particulièrement au point de vue des applications géométriques.

Parmi les géomètres (antérieurs à M. Bellavitis) que nous venons de citer, Mourey mérite en effet une place spéciale. Il avait certainement compris tout le profit que la Géométrie pouvait tirer de la théorie des droites inclinées, mais sans effectuer assez nettement la séparation si nécessaire entre le point de vue géométrique et le point de vue analytique. Nous n'en voudrions d'autre preuve que le passage suivant ;

a On doit convenir, dit-il, que la Science serait beaucoup plus satisfaisante si l'on pouvait en baser toutes les parties sur des raisonnements rigoureux, sur une évidence du premier ordre, sur des idées simples, palpables, comme celles des éléments de Géométrie. Eh bien, c'est là le but que je me suis proposé et que je crois avoir atteint.

B Non seulement. j'ai atteint ce but, mais j'ai rencontré en même temps un autre résultat qui n'est peut-être pas moins précieux; avec un nouveau système d'Algèbre, que je cherchais, j'ai trouvé un nouveau système de Géométrie auquel je ne m'attendais pas. Ce ne sont cependant pas

PliÉFACE DU TBADUCTEUH, SIII

deux sciences : ce n'est qu'une seule science, une seule théorie, laquelle a deux faces, l'une algébrique et l'autre géométrique. C'est une Algèbre émanée de la Géométrie, c'est une Géométrie généralisée et rendue algébrique {'), » La confusion ressort nettement de ce passage, et on la retrouve dans la brochure elle-même, où les considérations algébriques sont mêlées complètement avec les considérations géométriques; ces dernières, d'ailleurs, tiennent une place relativement restreinte, et les applications sont peu nombreuses et peu liées entre elles. Peut-être aussi faiit-il attribuer en partie cette absence de résultats géométriques élégants à la complication un peu artificielle des notations adoptées par l'Auteur.

L'opuscule de Mourey, paraît-il, n'était que l'abrégé d'un ouvrage plus considérable ; mais celui-ci n'a jamais été publié, et il est permis de supposer qu'il ne satisfaisait pas aux exigences de la Géométrie d'une façon plus complète que la brochure, par ailleurs si intéressante, dont nous venons de parler.

On voit donc que, s'il faut attribuer à Mourey la priorité de l'idée d'appliquer à la Géométrie les principes de l'Algèbre directive, la part qui revient à M. Bellavitis n'en reste pas moins considérable, puisqu'il a, le premier, créé, sous une forme réellement méthodique, un système nouveau de .Géométrie analytique, lequel se prête de la façon la plus heureuse à un grand nombre de questions, et fournit souvent des résultats d'une extrême élégance. Le lecteur pourra facilement en constater quelques-uns, en étudiant les diverses applications que contient la présente Exposition de la Méthode des Équipollences.

Croyant devoir m'atiacher à une fidélité scrupuleuse, j'ai cherché à suivre le texte d'aussi près que possible, et à ne pas m'écarler des notations adoptées par le géomètre italien. Les signes ^ et ^/, en particulier, me semblent indis-

(') Préface de la Vraie théorie des quaiililés négaiWat, quantités prétendues imaginaires, p, vu.

pensables à enniloycr, si l'on veut bien s'assimiler l'eapril de la méthode. Le premier représente à la fois l'égtdîté de gi-andeur et de direction, et a conséqnemment une signification très différente de celle que possède le signe =. Quant au ramitn ^f, je crois qu'on doit l'adopter, avec M. Bellavitis, comme coefficient de perpendicularilé, et que ce signe, possédant une signification absolument géométrique, ne saurait être remplacé sans inconvénient par \/~i ou par i, bien qu'il soit soumis aux mêmes règles de calcul.

En ce qui regarde la théorie des courbes planes, il m.e semble presque inutile d'insister sur l'élégance de la conception qui permet de représenter une courbe par une seule équipollence à paramètre variable 0M^'()((), laquelle indique à la fois et la courbe elle-même et la manière dont elle est parcourue par un point mobile. Les applications aux courbes contenues dans ce Volume montreront, mieux que tous les développements possibles, la fécondité de ce mode de représentation.

A cette traduction, j'ai joint quelques additions, lesquelles consistent le plus souvent en développements de passages du texte lui-même. J'ai tâché d'en être sobre, et si je me les suis permises en petit nombre, c'a été avec l'assentiment de M. Bellavitis, et dans le but de faire connaître sa méthode le plus complètement possible.

Je manquerais à la reconnaissance si je ne remerciais ici l'illustre géomètre italien, pour les excellents conseils dont il a bien voulu m'aider, et pour sa gracieuse communication de la plupart de ses publications sur les Equipollences. Malgré mon désir de restreindre autant que possible l'étendue de ce Volume, il m'a paru bon d'extraire de ces divers Mémoires certaines questions choisies parmi les plus intéressantes, et dont j'ai formé un Appendice de quelques pages. Le sujet qui nous occupe n'a pas été exclusivement étudié par M. Bellavitis. D'importants travaux ont été publiés à l'étranger sur la même matière, parmi lesquels, d'après M. Houël, nous pouvons citer ;