RI/, = - RA"+ RR"— RC

Rl^ =RA'''- RB^i-RG";

d'oii résulte la nouvelle équipollence (8) RI -i - RIa 4- RIù -I- RIc = o.

Donc le centre du cercle circonscrit est le barycentre des centres des cercles inscrit et exinscrits.

Les quatre points I, I^, Ij, lo sont tels que la droite qui joint deux d'entre eux est perpendiculaire à la droite qui joint les deux autres, et conséquemment il y a complète analogie entre les figures InljIcIR et ABCHO. Par exemple {^), R est le centre de!a circonférence des neuf points du triangle lal&lc-

On remarquera que les points A", B", C" sont précisément les milieux des droites 11^, 11^, 11^.

i02. Gherclions à calculer le rayon p du cercle inscrit. Pour cela remarquons tout d'abord que, r étant le rayon du cercle circonscrit, la formule (y) peut s'écrire

RI = r

Actuellement, soit une perpendiculaire abaissée de I , sur le côté BC; elle atira pour expression

F 5 = -ipe«.

La perpendiculaire abaissée de R sur le milieu de BG

La droite qui joint les pieds de ces deux droites ayant

iro SECONDE PARTIE, — CIIAPITUI; 111.

pour direclion a, nous avons ainsi

m — ipt^ -^ ir cosAs'ï = a:;" ou

de là, en multipliant par it"",

Écrivant l'cquipollence conjuguée et ajoutant, il vient

c'est-à-dire

(9) ^,-,= cosA--cosB + oosC.

D'un autre côté, la valeur de RI ci-dessus, étant multipliée par sa conjuguée, nous donne RIcjRI =rH3 — acosA — acosB-2Co3G) = 7-2^1— ^j, ou

(10) RIcjRl = r(/'--ap).

Nous avons ainsi les deux propriétés suivantes : i" La somme des rayons p et r des cercles inscrit et circonscrit est égale (96) à la demi-somme des distances des sommets du triangle au point de rencontre des hauteurs;

2" La distance des centres de ces deux cercles est moyenne proportionnelle entre r et r — 2 p.

Transversales.

103. Soit A'B'C une transversale qui coupe en A!, B', C les trois côtés du triangle ABC. Soit

BA' = aTBC, CB' = j>-GA, AC' = sAB,

APPLICATIONS AU TRIANGLIÎ. 1

d'où

A'C = (i-a;)BG, B'A = (i-j)CA, C'n = (i'-^)A Écrivons Â'B'= mB'C ou A'C-f-CB'- u(B'A-+- AC).

Cela nous donne

(,a.)BG+jCA=«[(i^.j-,CAH-^AB].

(^:+^)CA-4-(:r-i)AB = «[([^j}CA + sAB]

et, en égalant les coefficients,

— a; — 7 — 3 -4- ay -1- jz + sa^ = o

{1- x){i-y){i~ s) ^—a>yz,

A'C.B' A.C'B __ ÎÏA'.Gli'.AC ~ ''

e qui établit la propriété fondamentale des Lransver-

Fig. 35.

sales, indépendamment de loijte position particulière de la figure.

On remarc[uera qu'en remplaganL X par i — œ, y par

I — j, s par I ^ s, la propriété subsiste encore, et que' cela répond à des points A", B", C", symétriques de A', B', C par rapport aux milieux des côtés respectifs. Donc A"B"C" est aussi une ligne droite.

Droites menées d'un point aux sommets d'un triangle.

104. Soit I {fig- 36) un point quelconque sur le plan du triangle ABC ; appelons AÏA', BIB', CIC les droites issues des sommets et limitées ans. côtés opposés, et écrivons

CI =.3 ce,

AC'= yAB.

= ^AA'

Bl ^jBB'.

.'^aBC,

CB'=pCA,

Fig. ae.

La double équipoDence AI = AB + 131 = AC + CI nous donne, bien aisément,

a;(i-«)AB^^aAC

=.(i-/)AB+j.(i-J)AC = »-,AB + (i--,)AC.

Delà

De même,

par raison de symétrie.

', AU TI11A.KGLE.

On ^loit immédiateAneiil. que de ces relaùoQS (