BI

i-£)BC-i-((-^)BA,

ci = (.

[ — fl:)GA^(T— )')CB;

d'où

Cl-3!)il-

^(i-7)BI^(i-j)CI.

Le point I est donc le barycentre des points A, B, C, affectés des poids i — x, i — /, i — s.

Comme

AI = a:kM et IM =-■ (i — x) \M, celte éqiiipollence peut encore s'écrire (,8) ^IA'-jIB'-aIC' = o.

Le point 1 est donc le barycentre des points A', B', C, affectés des poids 3:,j, z.

106- Si l'on remplace les points A', B', G', respectivement, par leurs symétriques A',, B,, C',, par rapport aux milieux Aq, B,,, Go des côtés, cela revient évidemment à remplacer a, p, y par i — a,, i — p,, i — yi, ou a', P', y' par ^ a',, — p', , — y'i ■ La condition (ii) ou (i6) est donc satisfaite, c'est-à-dire que les trois droites AA'i, BB'|,CG'| se coupent encore en un même point I,.

On a alors

l-Zy \ — a \ ■ y'

c'est-à-dire que les trois quantités i — .ti, i^ — j'i, I — 3| sont inversement proportionnelles ài^ — x, i — y^ I — z. Par conséquent, les poids à placer en A, B, 0, pour que leur barycentre soit II, sont ——; — — i __ ■

Les points I et I, sont ainsi associés l'un de l'autre, par une loi de réciprocité.

Le barycentre du triangle se coiTcspond à lui-même-.

APPLlCATrONS AU TRlAMiLE.

107. SI l'on remplace les droites AA', BH', GC, respectivement, par leurs symétriques AA'^, BB!,, GC'^ par rapport aux bissectrices des angles intérieurs A, B, C, il est facile de voir que l'on aura

et deux autres relations symétriques, si bien que la condition (ti) est encore satisfaite, c'est-à-dire que les droites AA',, BB'.,, CG!, se coupeoten un mâme point L. Ona '

sont respectivement proportionnelles a ^ i ■ ■ ■ >

7 si bien que ces dernières valeurs sont celles des

poids à placer en A, B, G pour que leur barycenlre soit la.

Les points I et I^ sont donc associés l'un de l'autre par une loi de réciprocité, différente de celle du numéro précédent.

Le centre du cercle inscrit se correspond à lui-même. On peut désigner sous le nom d'associés de première espèce les points I et 1, , et d'associés de seconde espèce les points I et I^.

108. Pour généraliser Sa question étudiée dans les numéros qui précèdent, nous considérerons maintenant trois droites quelconques AA', BB', OC menées parles sommets du triangle jusqu'aux côtés opposés. Soient L {Jig- 3^) le point de rencontre de BB' et de GG', M celui de CG' et de AA', et N celui de AA' et de BB'.

yGoosle

SECONire PARTIE.

— CUiPITRI! (II.

Poson

s comme ci-dessus