Soit I {Jig
ïint dans le plan d'un triangleABC; appelons lA', IB',ïC'les pcrpendicuUlros abaissées sur les trois côtés. Posons
AC'=-fAB, BA'=aBG, CB'=1ÎGA.
La projeclion kCJ de AI sur AB est (32)
.^, i ABcjAI-^AlciAB ^*^ = 2 r,jAB
Nous avons en outre (54),
,^, I ABdAI - ATcjAIÎ
In a iinmédiatemcnt, d'après cela,
ABcjAl-H AUjAB ='i.-{c'^, BCcjBI + BIcjBC^aa.tï, CAcjGI-+-CIcjCA = 3^61.
en remplaçant BI par AI — AD et C( par Al — A
ABciAl+ AIcjAB =î-fe=,
BC cj AI -^ AI cj BG = 2H«3 -V- BG cj AB h- AE cj BC,
CA ciAI + AIciCA = 2p6î^-CAcjAGH-ACciGA.
AppucAitoas AU TRUNGir;. 119
Or
lîC cj AB -I- AB oj BG = BC(cj AC ^ cjCB) -h- AB(cj BA -!- cj AC ) -^ — ([■i — c^-i-b^,
CAcjAC-i-ACcjCA ^- 26=.
Donc, en ajoutant les trois relations,
o-(aa-i)«^ + (a?-i)6^-^(2Y-i)cS
relation remarqnaLle entre les trois coefficients a, P, y, et qu'on aurait pu facilement obtenir par les procédas ordinaires.
Si An, Bfl, Co sont les milieux des côtés, nous avons
BAo = |BC, BA'^kBC, AoA'= i;a-i)BC.
La condition peut donc s'écrire comme égalité ordinaire
aAoA'-i-ZiB(,B'4-cC(iC' = o,
c'est-à-dire, en ne considérant que les grandeurs et les signes, que la somme des trois produits de segments AoA'.BC, BgB'.CA-, CoC'.AB est toujours nulle.
Si nous appelons u, v, w les grandeurs des trois perpendiculaires lA', IB', IC, le point I sera (93) le barycenlre des poids au, bv, ciP, placés en A, B, C. On a, ea outre,
A'l = (-BG, iVoiy - A'I = (BC, et de même
-*B'I =: (CA, - C! = (\B, Donc
-A'I -i- ''B'i+ -CI = 0,
c'est-à-dire que I est le Larvcenlrc des poids -1 -, — placés en A', B', G'.
Sur quelques points remarquahlos.
ilO. Pour ne pas donner à ce Chapitre un développement excessif, nous nous contenterons d'atLÎrer l'attention sur le grand intérêt que présente la détermination d'un point du plan, considéré comme Larycenlre de trois poids placés aux sommets d'un triangle. Cette considération se prête d'une façon fort simple aux points associés, soit de première, soit de seconde espèce, dont il a été question au n" 107, et nous l'avons invoquée plus haut bien souvent.
m. Si on l'applique, par exemple, à l'associé de seconde espèce dn barycentre G, on voit immédiatement que ce point L sera le barycentre des poids a^, b-, c^, placés en A, B, C- C'est le centre des médianes antiparallèles, étudié surtout par M. E. Lemoine ('), et qui a donné matière, dans ces dernières années, à des recherches fort intéressantes, notamment à celles de M. Neuberg, publiées en 1881 dans le Recueil JÎi«f/iesis.
Nous ne saurions reprendre ici les nombreuses et intéressantes propriétés de ce point RI, dont les distances aux. côtés sont évidemment proportionnelles à ces côtés eux-mêmes; mais il était utile, à notre avis, d'en signaler l'existence.
112. M. Brocard, plus récemment, a étudié deux points remarquables du triangle, auxquels on attache généralement aujourd'hui le nom de ce géomètre (-).
(') Association française pow l'avancement des Sciences; Congrès de Lyon (1S73), de Lille (1874), et Congrès ulténeiu-s.
(') Voir notamment Association, française pour l'avancement des Sciences; Conerfis d'Alger (i88r); Étude d'un nouveau cercle du plan du triangle.
APPLICATIONS AU TIIIANGLU. 131
Ces points, C[ui ont conduit M. Brocard à la considération d'un cercle des sept points, dont nous ne parlerons pas ici, sont définis par la propriété suivante : Si ^ est l'un des deux points de Brocard, les trois angles pÂB, pBC, pCÂsont égaux ; pour l'autre point ^', ce senties angles ^'AC, ^'CB, p'BA qui doivent être égaux.
Il est assez facile, d'après cela, de reconnaître que le point p est le barycentre des poids -r^, -^i — placés respeclivement en A, B, C, et que P' est le Larycentre des poids -; ' — ; î i;; placés aux mêmes poin Is .
Si l'on prend l'associé de première espèce L, du centre des médianes antiparallèles, les poids à placer en A, B, C, pour l'obtenir, sont — , -,-:■, -•■ Partant de là, si G est le barjcentre du triangle (point de rencontre des médianes) et K le milieu de la droite p^' qui joint les deux points de Brocard, on trouve
en d'autres termes, les triangles ABC et L, [î|3' ont même barjcentre.
il3. Le nombre des points remarqiiables du triangle et des propriétés plus ou moins particulières qu'on en peut déduû-e est en quelque sorte illimité. Mais il nous semble que les indications qui piecèdent suffisent largement à montrer comment la meiKode des équipollences peut utilement s'appliquei a ce a;enre de questions. Pour terminer, nous ré'vumerons, dans un Tableau sommaire, les poids qui caiactérisent les principaux points remarquables que nous avons considérés dans ce Chapitre :
SECONDE l'Ali
- cnAriTRu Ti
= ïï
tn =
Ph
ntre.
du cercle
de rcnco ocentre.
m O Oh
U o An
. ^ io
- O t,lï
u iC
" "iÏÏ
Les points R et H, G et L sont associés de seconde espèce, comme nous l'avons déjà remarqué.
Les coordonnées bar jcen triques du centre de la circonférence des neuf points peuvent encore s'écrire
acos(B — C), &cos(G — A), ccosIA — B).
