EXERCICES SUR LE CHAPITRE III

1. Déterminer le barjccntre du périmètre d'un triangle. En appliquant les poids a, b, c aux milieux des côtés BC, CA, AB, OD trouve immédiate ment, pour le barjeentre F cherclié,

Delà FI^SFG, et (OG) 2RF = II-I, formules qui donnent niitant d; propositions géométriques intiêressaotes.

2. Soient a, b, c les trois côtés, A, B, C les trois angles d'un triangle. Sur une droite OX, on porte les longueurs OA', OB', OG' proportioanelles à a^, &*, c^ et l'on forme les angles XA'M, XB'N, XCP égaux à A, B, C respectivement.

Démontrer ;

i- Que les trois droites A'M, B'N, C'P se rencontrent en un même point T;

2° Que les longueurs TA', TB', TC sont proportionnelles à

3° Que la perpendiculaire TQ abaissée sur OX est proportionnelle au double de l'aire du triangle;

4" Que l'angle TOX ^ 6 (angle de Brocard) satisfait à \.\ relation

cotO = cotA-hcotB-HcotC;

5" Que Oï^ est proportionnel à

1134 SECOXDii PARl'Il!. — CKAI'ITltl! III.

6" Que OQ est proportionnel à

Toutes CCS ppopositioDB sont des conséquences de ridenlitc double

fiicile à établir en décomposant en parties réelles et îHiaginaires.

3. On donne un triangle ABC et quatre points T, Ij, ïj, P, barycentres des poids a, p, y, ^i, f!i, Yi> "s' Pai ï^' ^' "*' "■■• ^^^~ pecti^ement appliqués aux sommets des triangles.

On demande quels poids œ, ccj, icj il faut appliquer en I, Ii, Ij pour que leur barycentre soit P.

n tire un système de trois équations qui donne les valeurs

4. En joignant les trois sommets d'un, triangle à un point M, jusqu'à la rencontre des eûtes opposiSs, on a les droites AAi, BB„ CG|. Par les trois points A,, Bj, Ci, on fait passer une circonférence qui coupe les eûtes en A'i, B,, G'j respective-

Démontrer que les droites AA'j, BB'j, CC, se coupent en un même point M'.

La démonstration est des plus simples, en exprimant que er(AC,.A.C',) = gr(ABi.Alï'i), En appelant a, p, f et a', ^', y' les poids qni, placés en A, B, C ont pour barycentres M et M' (ou dit alors que ces valeurs a, ^, y,... sont les coordoiimes baryeentriques de ces points), on a

yGoosle

b. La droite de Brocard est parallèle à la médiane partant de G, quand on a

(E. Lebioime.)

6. La droite de Brocard est perpendiculaire a la médiane partant de C, quand on a

a6-i-c=cosC = o.

(E. Leiiowe.)

7. La droite de Brotard mt parallèle à la sjmcdianc partant de C, quand on a

(E. Lehoisiï,)