Si l'on a
l'angle de Brocard est égal à A — B. (E. Lemoine.)
Dans la même ligure, on exprimera que les angles A' O T, B'ÏA' sont
laS SECONDE PARTIE. — CHAPITEE lil.
11. Les puissances des sommets d'un triangle par rapport au cercle de Brocard sont inversement proportionnelles aux carrés des côtés opposés.
R, centre du cercle circonscrit, et L, point de Lemoine, étant les deux estrémités d'un diamètre du cercle de Brocard, on formera, par exemple, AL cj AR + AR cj AL, en se rappelant que les coordonnées barycentriques de R sont acosA, ècosB, ccoaC, et que celles de L sont a'i 6', c'. On trouvera ainsi facilement, au numérateur,
È'c=(6cosB ■+ ccosC} + ô'o'iï cosA
12. ABC étant un triangle quelconque, soient G son barycentre, R le centre du cercle circonscrit, M un point quelconque du plan, a, b, c les longueurs MA, MB, MG, et (S) le cercle de diamètre GR.
Démontrer que la puissance de M par rapport au cercle circonscrit est égale à deux fois sa puissance par rapport au cercle (S), moins i(aS-^ b^-F c^).
Cette puissance peut en effet s'écrire, en prenant Ai pour origine, K cj R — RA cj RA ou A cj B H- B cj s — a'.
Ajoutant les trois expressions de cette forme, on a
ce qui, en divisant par 3, donne le résultat indiqué.
On en déduira des conséqueuces particulières intéressantes en faisant coïncider le point M avec divers points remarquables et avec
13. M étant le barycentre des poids a, p, f appliqués respectivement aux sommets A, B, G d'un triangle, soient Mi et Ms les barycentres des mêmes poids appliqués respectivement en B, G, A, puis en C, A, B. Supposons qu'on ait
Démontrer :
1" Que les deu>. li-iangks ABC, MMiM^ oiu même bary-
rapport des aires de ces deus triangles est s aires des triangles AMMj, AM|Mî satisfont
AMM, = BM,M2= CMsM =(?s~-fa)AEC, AM,Ms= BMjM = CMM, =(s[4— pf^ABC, AMaM^ BMM, =CM,Mî=(fa— ap)ABG;
4° Que le rapport de la somme des carrés des côtés du triangle MMiM, à la somme des carrés des côtés de ABC est égal au rapport des aires de ces deux triangles.
Tous ces résultats s'obtiennent assez aiscnicnt en partant des
li. Le point de Lemûine est à l'intersection des droites qui joignent les milieus des côtés d'un triangle aux. milieux, des hauteurs correspondantes.
Si A, est le milieu de BC, M le milieu de la hauteur issue de A, Lie point de Lemoine, on calcalera AM, AA,, AL et, par différence, I.M et LA.,; on trouve ainsi
LM 6m- C— a' __ tan a a
LA, 6'-i-c'+B" tangA B étant l'angle de Brocard.
15. Si par un point quelconque M, barycentre des poids m, P, f placés en A, B, G, on mène des antiparallèles aux trois eûtes du triangle, les six segments ainsi obtenus, égaux deux à deux, auront pour expressions
abc a abc p abc 7
On remarque que l'antiparallÈle - AB — tAG = I) a pour grandeur a, et l'on écrit AM + «o = vAB, ce qui permet de déterminer u. De même pour les autres cfltés.
On conclut de là que, pour le point de Lsmoine, les six segments
