OA+OI)^,„ , OI) + OG
yGoosle
APPLICATIONS AUX POLYGOSES,
Prenons le point O précisément à l'intersecùon des deux diagonales AC, BD. Nous aurons {fig. 4 i)
DAlî ^ ARC .^., lîCD ' ÂÏJCD "^ °^ ÂÏÏCD + '^^ ÂBCD ^
300 = comme on le voit immédiatement sur la figure.
Celle valeur peut s'écrire 30G - °S-- «A! ^ gijziiïï = OA H- OB .- OC + OD.
Ceci démontre que le barycenlre du quadrilatère n'est autre que celui des cinq poids i, i, y, i, — i, placés respectivement en A, B, C, D, O.
Barycentre d'un polygone.
117. En appliquant à un polygone quelconque ABC, . . JK. la métliode que nous venons de suivre pour obtenir le barycentre du quadrilatère, mais en prenant pour origine un point intérieur O arbitraire, on a
^-^ O.AÎi +...-1-!^^ OKA = G.AnC...K
G.ABC...K = | OKABH'-" OABG-+ --.-H^ OAKA.
Si nous appelons H le barjcentre qu'on obtient en plaçant aux divers sommets du poljgone des poids proportionnels ans quadrilatères OKAB, OABC, . . . formés par les deux côtés adjacents el le point O comme sommet opposé, on aura
■iH.ABC. . . K = A. OKAB + b.OABCh-. . ,-i- k.OIKA,
car la somme des aires des quadrilatères OKAB... est évidemment égale au double de l'aire totale du poly-
3g = ^ii ou 0G = |0H.
Si l'on fait coïncider O avec G, on voit que lî coïncide lui-même avec G. Ainsi le baryccntre des poids égaux à GKAB, GABC, . . . , placés en A, B, ... , n'est autre que le barycentre G lui-même.
Figures semblables construites sur les côtés d'un polygone.
118. Considérons {Jig- 4^) un polygone quelconque de n côtés A) Aj . . . A„, et supposons que, sur cbacun des côtés, nous construisions un triangle directement semblable à un triangle donné PQR.
Boit pi le rapport -p^; nous aurons qïï ^^^ — ^^ et, par suite, \j. = y-
Admettons, pour fixer les idées, qu'en suivant le contour dans le sens Ai A^ A3 . . . on ail toujours l'intérieur du polygone à sa gauche. Alors les triangles semblables A, A', A3, A^ A'^ A3,. . , seront extérieurs ou
XPPLICATIOHS AUX POLYGONES. l65
intiïriciirs, suivant que l'angle du rapport ")■. sera inférieiir ou supérieur à t:.
Nous nous proposons, comme problème général, la
reclierclie du polygone primilif A, A^ . . . Â,j, connal sant A', Aj . . . A'„ et le triangle PQR.
Nous avons
^ ' A2A1 Rf ' ■
Delà
(-^) a',= 11,V, -+-■([- |i)A2= !^(Al -)-As)-
On a pareillement
= tl(A2— >.A3),
\ a„=|).(a„-Xa,-)- L'addition de ces n équipollences (a) donne (3) SA' = ix([-X)SA = SA,
et nous donne par conséquent tout d'abord celte pro-
priéLé que le harycentre des sommets est le même poulies deux polygones.
La souslraciion de deux quelconques de ces relations nous donne, en outre,
a } A^ A'^ ^ il (A,, A, " >, Aj,+i A,^+, ) ;
d'où celte propriété :
SI, par un point quelconque U, nous menons US, UT équipollentes aux diagonales ApAg, A^^,Aj^,, puis si nous formons le triangle SXT, directement semblable à PQR, la droite UX sera équîpolienle à la diagonale A'^A'^ du second polygone.
l'19. Maintenant, multiplions les n équipolleuces (a) écrites ci-dessus par i , X, X-', . , , , '/.""', et ajontons-les. Nons troiiverons sans peine
relation que nous pouvons écrire aussi
(lî) A,A',4-XA,A';-i-...-hX"-iA,A;,=: 0,
et qui résout d'une manière générale le problème proposé, par de simples constructions de triangles semblables.
Il importe loulefois de noter une exception. Si V' = i, la valeur de a, ne peut plus se construire; mais alors il- faut qu'on ait toujours, quelle que soit l'origine,
ce qui donne une propriété de la figure.
Le cas de a" = i, donne î^ = s " , c'est-à-dire que
APPLIGAHONS AUX POLYGONES. J 0,1
le trian^'lc PQR. est isoscclc et que l'angle en Q, répété n fois, donne un nombre entier de circonférences. C'est ce qui a Heu, par exemple, pour les polygones réguliers de n côtés, si l'on considère le triangle formé par le centre et un côté quelconque.
Ainsi l'on ne peut pas se donner arbitrairement les centres des triangles équilatéraux construits sur les côtés d'un triangle ; des carrés construits sur les côtés d'un quadrilatère, etc. Dans tous ces cas, il existe une propriété correspondante de la figure. Nous en avons vu un exemple au n" \\S.
120. En répétant sur le polygone A', A'^ . . . la même construction que nous venons de faire sur le polygone AiAa..., nous obtiendrons un nouveau polygone A", A'^ . . . , et le point A", sera obtenu par l'équipoUence
Répétant encore la même construction sur le polygone A", A", . , . , on trouverait
et il est aisé de voir que, d'une manière générale, on agirait la formule symbolique
en convenant de traiter comme des exposants les indices de A et de transformer les exposants en indices.
121. Au moyen des formules qui précèûent, on peut évaluer l'aire du triangle OA', A'^ et des triangles analogues, et ensuite, par addition, l'aire S' du polygone A, A'., . . . tout entier. Si l'on fait le calcul, et pour ce polygone résultant de constructions extérieures, et pour
