SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IV

ceiiiî qui résulte de constructions inLérieures, et donl nous désignons l'aire par s', on obtient

/ S'+î'= ^cJii[a([-^).eiX)S— (X+ciX)SOAj,A;,+jl

'■"'i ^.p-[(^+;;)s-co.Q..OA,A„],

Dans ces résultats, S représente l'aire du polygone primitif, p, q, i- sont les trois côtés du triangle POR et /( est la îjautcur du même triangle issu du sommet Q.

122, La plupart des considérations qui précèdent sont extraites d'un Mémoire publié dans les Comptes rendus de l'Association française pour l'avancement des Sciences (') il y a quelques années. On pourrait en faire application au triangle, au quadrilatère et à de nombreux cas particuliers. Il nous suffit ici d'en avoir indiqué la substance, et nous laissons au lecteur le soin de traiter les exercices se rapportant à cette matière.

Pour terminer ce paragraphe, en généralisant le problème, supposons que sur les côtés successifs d'un polygone A, A^, . . on construise des triangles semblables à des triangles donnés, différents les uns des autres. Cette, construction fournira un nouveau polygone A', A'j . . . comme ci-dessus.

Si nous désignons par P,Q|R,, P^Q^Rs, --■ les divers triangles donnés, et par jj,,, [j-j,..,, },,,À^,...

{') Sur quelques propriétés des polygones; Congrès du Havre

APPLICATIONS AUX POLTGONES. iSy

les rapports analogues à ceux désignés par y. et ), aux numéros précédents, on trouvera, par un calcul pareil,

(lî)

Ai(.->.i)>2...X,>) = -A', + --!-A',

équipoUence qui résout la question.

Les cas d'impossibilité sont donnés par

Lorsque ce cas se présente, pour un triangle, cola conduit à la condition

(.3) (i),,)a'--.X,(,-XOb'-(J.i).,-i)c'=-o,

d'où

Â'Ii' B'C C'j^'

11 en résulte une propriété géométrique assez simple. Formons les trois triangles LOM, MON, NOL, tels que