M. ~ I.M ~ MN

si bien que les deux triangles A'B'C, NLM doivent être semblables.

Il est facile de trouver des résultats analogues pour le cas d'un polygone quelconque et de préciser un mode de construction géométrique de la solution.

Prenons le cas particulier oii les divers triangles construits sont semblables à BiKBa, B^KBs,..., B,iKB„+(, les points B,, B^, B3, . . ., B„^, étant tous

l38 SECONDE TAltTEE. — CHAPlIRli: l

également espacés en ligne droile. Aloi's

Les éqnipoUcnoes qui donnent A',, A'.,, . , nent alors

et l'on en dédnilj par addition,

ce qui donae le théorème suivant :

Soient B,, B^, B3, ..., B,j|.i des points en ligne droite, également espacés les uns des autres. Sur les n côtés d'un polygone fermé on construit des triangles A)Â'| Ao, Aa A'^As, ..., ÂnA'„A| respectivement semblables à 'Q^Yi.^^,. ..^ B„RB„+|. Le barycentre des points A\ A.'., ... A\^ sera l'un des sommets du polygone A, An. . .A,,.

Polygones inscrits ou circonscrits à une c irco nier eue e.

123. Proposons-nous d'inscrire dans un cercle un polygone dont les côtés passent par des points donnés ou soient de longueurs données.

Prenons pour exemple un quadrilatère XYZW {fig. 43) dont les trois côtés passent respectivement par trois points donnés A, B, C, et dont le quatrième côté WX ait ime longueur donnée. Soit OH le rajon choisi pour origine des inclinaisons. Alors

OX = OHï^, OY = OHe-i, OZ = OHeï;, 0W= OlIï'J,

APPLICATiO.NS AUX POLYGONES. lÔQ

La condition que les points X, A, Y sont en ligne droite s'exprime par l'écjuipoUence

OHeï — OA=:=</(OH£l — OA),

retalion cL sa conjuguée, il

Éliminant q enti

( OH s^ — OA ) (OH E-n — cj OA) = (OHE-?-cjOA)(OHï-n — OA).

Cette dernière équlpollence se vérifie pour 'i^^-r[, ce qu'il était facile de voir apriori. Elle est donc di\'isible par E^ — £i, ce qui conduit à

(jii)

OA — Olls-i " Ôlï— "cJÔAVV

De même, les conditions pour que les côtés YZ, ZW

SECONDE P,S.IITIË. — CÎIAPITBE ï\.

passent pai

f les points B et C s'expriment ainï

OB-OHeî

OH — cjOBîC

^ OC — OHe'-J

Enfin la longueur du côté WX entraîne la détermination de l'arc correspondant, que nous supposerons égal à è. Nous avons donc {19) 6" = EÏ-8.

Par des substitutions successivement effectuées dans les relations qui précèdent, nous obtiendrons une équipollence trinôme qui nous permettra de déterminer l'inclinaison cherchée ^, c'est-à-dire la position du point X.

Pour montrer comment il y aurait lieu d'opérer, quel que fût le nombre des côtés du polygone, nous formerons successivement les coefficients des équipollences résultant des substitutions indiquées. Nous aurons

, OA.OH — OAciOC^^ — PB. OH + OH.OlIi i:

^ ~ OH.OH — OHcjOBeî^—cjOA.OÊ + cjOA.OIIeï OA, + OH|si: "cjOH,-i-ciOAiS<'

en posant