OH R

ou, en muHiplianl par ■ .- . e" ',

oH.t+ 5s^ ,.-(= OH esi- «ioas = ou,

C] OAa cj OAï '

équîpollence qui, comparée avec l'identité OX-hXU = OU,

nous montre que le point X s'obtiendra en coupant la circonférence donnée par une autre circonférence égale de centre U.

Les équipoUences qui précèdent montrent clairement

comment on trouve les points A), Hi, On mène AA|

équipoUenle à BO ; on construit le triangle OAK. symétriquement semblable à OHB, et l'on mène HH) =^ KO ; on forme OH,L| directement semblable à OHG et OA|R) symétriquement semblable à ce même triangle OHG; on trace A,Aa = OL, et H.Hs^OK,. La corde HI étant égale au côté WX dn quadrilatère cherché, on mène OT perpendiculaire à celte corde HI et ayant par suite pour inclinaison -, et l'on coupe

cette droite de manière que H^T soit égal à OH^. On a OT = OH3 + cj OHî £S. Enfin, construisant OTU symétriquement semblable à O A^H, la droite qui divisera perpendiculairement OU en deux parties égales coupera la circonférence donnée au sommet X du quadrilatère demandé XAYRZCW.

Dans la figure, la direction arbitraire OH a été prise suivant OC, de telle sorte que les triangles OHG,

\qi BliCOWDF. PARTIE. — CHAPITIll! IV.

OH)L|, OA|K) se trouvent réduits à trois droites divisées proportionnellement.

La solution qui précède et qui est textuellement, sauf les notations, celle de Eellavitis donnée dans l'Bœposition de la méthode des équipa llences, présente l'avantage d'indiquer les calculs aa moyen desquels on peut déterminer numériquement le sommet X.

124. Cherchons maintenant à circonscrire à un cercle un polygone dont les angles aient leurs sommets situés sur des droites données ou soient de grandeurs données. Nous reproduirons ici encore la solution par laquelle BeUavitis ramène le problème à celui du numéro précédent, mais nons laisserons au lecteur le soin de construire la figure.

Les droites données seront définies par les perpendiculaires OÂ', OB', . . ■ abaissées du centre. Les points de contact, en prenant le rayon OH pour origine des inclinaisons, seront déterminées par les équipoJlences 0X=0He5, OY^OHso,

Pour exprimer que le sommet correspondant aux tangentes en X et Y se trouve sur la droite déterminée par OA', U suffit donc d'écrire la condition (88) pour que les perpendiculaires à OA', OX, OY en A', X, Y se rencontrent en un même point. On a ainsi

OA'cjOA'(sM^s'i-?)

-+- OH ( cj OA'si — OA'e-1 + OA' e-5 — cj OA'eÎ ) = o.

Cette équipollence, comme il était facile de le prévoir, se vérifie pour ?= vi. Divisée par e^ — el, puis résolue par rapport à e^, elle donne

, . OH.OA'-OA'cjOA'£-o

^^'^' " ~ OA'cjOA'-OIIcjOA'E-^'

et cette dernière équipoUence devient identique à la relation (i6) du numéro précédent, si l'on pose

La condition imposée aux tangentes en X, Y de se rencontrer en un point d'une droite déterminée A'M est donc identique avec celle qui obligerait la corde XY à passer par le point A, situé sur OA', et de telle sorte que le produit des grandeurs de OA, OA' soit égal au carré du rayon.

On déterminerait de la même manière les points B, C, . • - correspondant à B', C, . . . , et le problème se trouverait résolu par les formules du numéro piccé-