EXERCICES SUH LE CHAPITRE IV

i. Dans va quadrilatère, le point d'intersection M des diagonales, le point d'intersection N des droites qui joignent les milieux des côtés opposés et le barycentre G du quadrilatère sont en ligne droite, et l'on a MN = 3NG.

Conséquence immédiate de la propriété établie ti la fin du n° 116, car on a 4MN = MA -i-MB + MC + MD.

2. On divise un quadrilatère en deux par Une sécante. Les points de rencontre des diagonales des trois quadiilatères ainsi formés sont «n ligne droite.

ABA'B'étant le quadrilatère donné et A" B" la sécante, on prendra pour origine le point de rencontre de AA' et BB'. Posant alors OA = ma, OA' - m'n, 0A° = m'o, OB - pr, OB' = /?'f, Ofi'-p°f, on déterminera les points de rencontre X, X.', X" par le procédé de décomposition, et l'on trouvera la relation

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l44 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IV.

3. Dans un <juadrilalèi-e ABCD, soienll le point di; rencontre des diagonales, M le milieu delà droite joignant les milieux des diagonales. En joignant IM et prolongeant cette droite en MO d'une longueur égale à elle-même, on obtient un point qui jouit des propriétés remarquables suivantes :

1° Les triangles OAB, OCD ont des aires équivalentes, et il en est de même de OBG, ODA ;

a" Le barycentre du triangle OPQ, P et Q étant les milieux des diagonales, est le même que celui de l'aire du quadrilatère.

En prenant O pour origine, oo détermine les quatre sommets par les équipollences

d'où se déduisent les propriétés en démonstration.

4. Soient ABCD un quadrilatère inscriptible, Srf, Sa, s/,, Sc les aires des triangles ABC, BGD, CDA, DAB ; O un point quelconque du plan; a, b, c, d les longueurs des droites OA, OB, OC, OD.

Démontrer la relation

a^îû — b^s/i-h c^Sc — d^Sd — O-