__OB + OC

Formons l'expression OKcjAB :

OKcjAB = ;(OA-+-OB)(cjOB — cjOA)

= i(OAcjOBM-OBcjOB— OAcjOA — OBcjOA) -= H OA. c,f OB — OB cj OA -t- AS — a^ ), en appelant rt, //. ... les grandeurs des droites OA, OB, . . . .

Réunissant cette relation avec tontes celles qui s'en déduisent par symétrie, nous avons

OK cj AB = \ (OA cj OB — OB cjOA -h b^—a^j, OLcjBG =^-;(0B cjOC — OCcjOB-Hc2 — 6^),

OQ cj FA = i ( OF cj OA - OAcj OF -h a^ ~-p ),

et de là, par addition (o4, SS),

OKcjAB + OLcjBC + ,..-i-OQcjFA = - ^ = ^,

en appelant S l'aire du polygone.

Donc

(i) S =' (OKcjAB +OLcjBC + ...-f-OQcjFA),

[1 est clair qu'on aurait aussi, en écrivant l'équipollence conjuguée,

(a) S = - (ABcjKO -h BC cjLO + ,..-+- FA cjQO).

Produit des aires de deux polygones.

126. Pioposons-nous de calcnlci- lo produit desaires de deux triangles ABC, LMN au moyeu des dislances mutuelles de leurs sommets. En représentant par (ABC), (LMN) ces deux aires, nous avons (o-i)

i6(ABC)(LMN)

= — (ABcjAC — cjAB.ACKi'McjLN — cjLM.LN),

(ab'-ba'){cd'—dc")

= (ad'-hda')(bc'-\- cb' ) ^ [ac' ^ ca')[hd' A- db"), facile à vérifier, nous montre que le second membre de l'équipollence ci-dessus peut s'écrire

(ABcjLM-i-cjAB.LM)(AGcjLN -hcjAC.LN) — (AIÎcjLN +(;jAB.LN)(ACciLM-!-c]AC.LM).

Or nous avons vu (S3) qu'on a

AB cjLM + cj AB.LM = gr^AM + gr^BL — gr^AL — gr=BM. = AM» -(- BLî — AL^ — BMS

en supprimant ici, par abréviation, les caractéristiques gr, ce qui ne peut avoir aucun inconvénient.

Il vient, pac conséquent, i6(ABC)(LMN)

= (AM* -h BLi — PJJ — BM3) (AN^ -+- CL^ — AL^ - GN^) ^(ANî -1- BL! - ALî — BN!^) (AM^-i- GLî — AL^ — GM^).

En examinant le développement du second membre, on s'aperçoit que de trente-deux termes il se réduit î dix-huit, et que si nous considérons la combinaison dt deux côtés AB, LM, par exemple, elle donne naissancedans ce second membre, au binôme (3) ALï BMî — AM2 BL^

AIRES BES FIGURES PLANES. l/i^

si bien que les dix-iiuit termes dont nous venons de parler forment neuf de ces binômes correspondant aux combinaisons possibles des côtés.

De cette observation résulte la formule symbolique très remarquable que voici :

{4) i6 ( ABC) (LMN) = [AB -h BG -;- GA] [LM + MN + NL] ,

dans laquelle il suffit de remplacer chaque produit du second membre, AB.LM par exemple, parle binôme (3) correspondant.

i27. Cherchons maintenant à étendre le problème au cas de deux polygones. Pour cela, supposons qu'on accole au triangle ABC un autre triangle ACD, si bien qu'ils forment à eux deux le quadrilatère ABCD. Pour avoir le produit i6 (ABCD) (LMN), il faudra ajouter au second membre de la formule (4) l'expression [AC + CD -H DA] [LM -h MN + NL].

Mais, d'après la définition (3) de chaque produit symbolique partiel, il est évident qu'on a [CA][LM]-f-[AC][LM]:- o, si bien que tous les produits partiels dépendant du côté A.C disparaîtront, et qu'il restera simplement [AR + BC-i- CD -H DA] [LM + MN '+ NL],

Le même raisonnement, convenablement répété, conduirait au produit des aires de deux polygones quelconques ABC... F, LMN...Q, el nous donnerait la formule symbolique générale

1 i6(ABG...F)(LMN...Q}

i =[AB + BC-+-... + FA][LM-)-MN-F...-i-QL].

Cette remarquable expression du produit des aires

ï5o SECONDE PARTIE, — CHAPIIRl'. V.

de deux polygones est due à Bellavitis, qui la publia pour la première fois, en i834, dans les Annales des Sciences du royaume lombard vénitien (r,. IV, p. a 56).

P a eudo- centre d'un système de polygones.

128. Reprenons la formule symbolique (4) et remplaçons-j le point L par le centre Rdu cercle circonscrit an triangle AEC. On reconnaît immédiatement, à cause de l'égalité des grandeurs de ÂR, BR, CR, que la formule se réduit à

(6) i6(ABG)(RMN) = [AB + BG -^ CA] [MN].

Formons de même le produit des aires (ACD), (R, MN), Ei étant le centre du cercle circonscrit à ACD, et ajoutons-les. Nous obtiendrons, en vertTi toujours de la définition (3) des produits symboliques,

( (ABC)(RMN)-i-(AGD)(R,MN) ^''■' i ^[AB-i-BG-t-CD-i-DA] [MN],

Le second membre de cette égalité ne contient pas les diagonales du quadrilatère ABCD, et il est par conséquent indépendant de la manière dont ce quadrilatère a été divisé en, deux triangles.

Quant au premier membre, ta droite MN étant quelconque, il représente à un facteur constant près la somme des moments, par rapport à cette droite MN, des poids (ABC), (ACD) placés respectivement en R et R,.

Si l'on remarque que la relation (^) peut aisément s'étendre à un polygone quelconque et qu'elle peut ensuite s'écrire poiir d'autres polygones encore, on arrive donc au théorème suivant :

Pour tout polygone ou tout système de polygones

AIRES DES FIGURES FLANES- l5l

situés dans un même plan, il existe un point qui est le barycentre de poids égaux aux aires des triangles distincts en lesquels ces polygones pew^ent être décomposés, ces poids étant respectivement placés aux centres des cercles circonscrits correspondants.

Ce point est indépendant du mode de décomposition en triangles.

C'esl à ce point remarquable, découvert par Bellavitis, que ce géomètre a donné le nom de pseudo-centre d'un système de polygones.

129. Si nous appliquons au triangle ABC ce que nous venons de dire du pseudo-centre, il est évident que ce point coïncidera avec le centre R du cercle circonscrit. Par suite, si nous appelons a, ^, y les aires des triangles OBG, OCÂ, OAB, O étant un point quelconque et Ra, Rfi, Ro les centres des cercles circonscrits à ces trois triangles, nous aurons à la fois aOA -i-pOB +yOG =0, allRa-^ ^RRù+ ■ïRRc= o.

Si le point O vient à coïncider avec le barycentre G, alors a ^ ^ == y, et K est le barycentre des trois points R„, Rj, R,..

Multilatéraux,

130. Nous appellerons multilatéral un système de droites MN, PQ, . . . dont la somme géométrique est nulle. Autrement di t, les droites qui corn posenlun multilatéral sont équipollentes aux côtés d'un polygone fermé.

La somme des triangles OMN, OPQ, ..., qui ont pour sommet commun le point O, s'exprimera ainsi

S = ^fOMcjMN-+-OPcjPQ-h...— cjOM.MN-cjOP.PQ-...).

Pour nn autre point O', on aurait une formule pareille, et, en faisant la différence, on aurait

S — S'= - [00'(cjMT^ -r- cjPQ +. . .)

- cjOO'(MN -h PQ-1-. . .)] = o,

d'après la d<5finition même du multilatéral.

Donc la somme des triangles considérés est indépendante du sommet commun de ces triangles. Nous pouvons l'appeler aire du multilatéral.

Le multilatéral le plus simple qu'on puisse imaginer est celui qui se compose de deux droites seulement MN, PQ égales, parallèles et de sens contraires. L'aire du multilatéral est alors la moitié de l'aire du parallélogramme MNPQ.

131. Il est presque évident que, dans un multilatéral, les origines et les extrémités des droites ont même baryc entre.

Car

MN -^ PQ -^ ....-= o peut s'écrire

Nous pourrons appeler ce point G le barycentre fies sommets du multilatéral.