Cherchons à former le produit des aires d'un
polygone ABCD. . . et d'un multilatéral MN, PQ
A cet effet, prenons pour sommet commun des triangles le pseudo-centre R (128) du polygone.
Nous avons, d'après la propriété caractéi-islique de ce pseudo-centre, en appelant R), Ra, ... les centres des cercles circonscrits ans triangles en lesquels se dé-
AIRES DES l'IfiURliS PLlNIiS. l53
compose le polygone, s,, Ss, ... les aires de ces triangles et S l'aire du poljgone
S.RMK = JiR|MN + Ï2R3MN + ..., si bien (427) que ce produit s'exprimera par ■Jg-[AB-t-BC^,..][MNJ.
Comme la même observation peut se répéler pour toutes les autres droites PQ, .... il en résulte que le produit cherché s'exprimera par le produit symbolique
(8) ïSë[AB-!-BG + ...l [MN + PQ-!-...].
133. Étant données plusieurs droites MN, PQ, . . ., cherchons à en déterminer une dernière XY, telle que MN, PQ, . . , , YX forment un multilatéral d'aire nulle. Nous aurons à écrire pour cela les deux conditions MN + PQ-i-...-(-YX = o, OMN-i-OPQ-i-...-^ OYX-o, étant un point quelconque du plan, ou
(9) XY = MN-i-PQ-^...,
(10) OXY = OMN + OPQ-i-...,
c'est-à-dire
OX cj XY — cj OX . XY = OM cj MN -h OP cj PQ -^- . . .
— cjOM.MN — cjOP.PQ — ....
Cette dernière condition est évidemment satisfaite en écrivant
OX cjXY r.= OM cjMN + OP cj PQ --. . . ,
li don:
en vertu de la relation (9).
OMc j MNh - OP cj PQ H- . cjMN^ejPQV..."
yGoosle
iS'l SECONDE PARUE. — ClIAPlTaii V.
On peut considérer MN, PQ, . . . comme représentant un système de forces situées dans un plan et appliquées en M, P, .... Alors XY est leur résultante, comme le montrent les relations (9) et (10), car cette dernière exprime que le moment de XY par rapport au point quelconque O est égale à la somme des moments des forces MN, PQ,
Le point d'application X de la résultante, déterminé par la formule (11), est tel, que si toutes les forces viennent à tourner dans leur plan d'un même angle et dans le même sens, la résultante tournera du même angle et dans le même sens autour du point X-, qu'on peut appeler le centre du système des forces.
Il est intéressant de remarquer toute l'analogie qui existe entre la formule (1 1) et la relation (a) du n" 18, qui donne le Larycentre d'un système de poids sur un plan. Ces deux, formules deviennent identiques si les valeurs MN, PQ, . . . sont toutes parallèles entre elles et à l'origine des inclinaisons. On pourrait dire, pour employer un langage purement analytique, que cette formule (11) donne le barycentre (toujours réel) d'un système de poids imaginaires placés dans un même plan.
Il est à peine besoin de faire remarquer que, si l'on prend précisément pour origine le centre X d'un système de forces, on a
XM cj MN ^ XP cj PQ -^ . , . = o.
Si l'on vient à renverser toutes les droites MN, PQ, ... si bien que les extrémités deviennent origines et les origines extrémités, le centre Y' du système NM, QP, . . . sera donné, en vertu de la formule (i i), par la relation
0NciMN-4-0Q c jPQ+;..
cjMN-i-cjPQ-F...
MNcjMN-HPQcjPQ-icjMN-HcjPQ-H...
XY' cj XY = gL-2 MN -1- gi-i PQ + . . . .
Les points X, Y, Y' sonl donc en ligne droite et le reclangie des deux segments XY, XY' est équivalent à la î des carrés construits sur toutes les droites du
Pour te cas de deux droites seulement, MN , PQ {yî^. 45), le point X est déterminé par la relation
MX cjPQ XP "" cjMN
et donne lieu, comme on le reconnaît aisément, à la
l56 SECONDE PAUTIE. — CHAPITRE V.
construction très simple que voici. Il suffit de prolonger les deux droites MN, PQ jusqu'à leur rencontre O, de mener la circonférence passant par O, M, P, et de couper cette circonférence par la droite issue du point O et représentant la somme de MN et PQ. La propriété que nous venons d'établir sur le produit XY'cjXY donne donc ici un théorème assez simple de Géométrie relatif à deux circonférences qui ont un point commun.
Reprenons les valeurs ci-dessus de OX et OY'. Si nous les ajoutons, en appelant Z le milieu de XY' et M,P, les milieux de MN, PQ, ..., nous aurons
0M|CJMN + 0P|CJPQ4-.. .
CJMN-1-CJPQ + ...
OMi cj M, H -H OPi cj Pi Q -!- . , ■ " cjM|NH-cjPiQ-!-...
c'est-à-dire qiie Z, milieu de XY', est le centre du système M, N, P, Qi li serait facile d'établir encore
beaucoup d'autres propriétés analogues sur lesquelles nous passons ici.
134. Pour terminer, sur celte question des multilatéraux, nous nous bornerons à une propriété qui donne une nouvelle expression de la similitude de deux triangles comme cas particulier.
Supposons qu'on ait
(12) OA.MN + OB.PQ + OC.ST == o
pour toute position du point 0. Je dis que cette relation exprime que MN, PQ, ST est un trilatéral et que le triangle formé par des droites équipollentes est semblable à ABC.
En effet, si l'on écrit la relation (12) pour tout autre
point 0', il vient, par soustraction, 00'(MN-hPQ-HST) =
Donc le système est un trilatéral.
Portant maintenant le point O en A, il vient AB.PQ-hAC.ST=:o, AB GA ST ~ FQ'
Portant le même point en B,
BA.MN-hBG.ST = o,
ce qui démontre la proposition.
Pour un triangle, on aurait
OA.B'G'-^ OB.C'A'^- OG.A'B' = o, et l'on exprimerait ainsi que les deux triangles ABC, A'B'C sont direetement semblables.
