QUELQUES QUESTIONS DE GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE

Divisions harmoniques. — Moyennes harmoniques.

135. On sait qu'un segment AB est divisé liarraonicjuement par deus points G, D, situés sur la même droite, lorsque l'on a

'■ •* eu BD

Les quatre termes de cette proportion représentent alors exclusivement des grandeurs.

Par extension, nous dirons que les quatre points A, B, C, D {Jig- 46) forment une division harmonique ou un quadrilatère harmonique, lorsque la relation(i) est satisfaite eji grandeur et en direction, c'està-dire lorsque cette relation devient une équipollence.

Il est évident, tout d'abord, à la seule inspection de cette relation (i), que tout quadrilatère harmonique est inscriplible, car les angles en C et D sont supplémentaires.

Si l'on se donne AB et que l'on construise sur cette corde une circonférence quelconque, soit EF le diamètre perpendiculaire à AB. En joignant E, F à un point M quelconque de AB, il est facile de reconnaître

QUELQUES QUESTIONS DE GÉOMÉIRIE SUPÉIIIEURE, lôl

que les points G et D, où les droites FM, EM coupent la circonférence, satisfont à l'équipollence (i) et déterminenl par conséquent, avec A, B, un quadrila-

tère harmonique. En effet, DM et CM sont les bissectrices des angles D et C, ce qui monire que

Cette équipollence (i) se prête à diverses remarques et transformations. Nous n'avons pas à insister, par exemple, sur la réciprocité évidente qui existe entre