ADDITION ET

i longueurs des droites AB , EF, rapportées à un litc c[ne\coniL[iie, sonl égaux entre eus; c'esL-à-dir

(^ueles longueurs de ces deux droites sont égales, leurs directions restant d'ailleurs absolument quelconques.

La longueur d'une droite pourra être parfois appelée aussi grandeur ou module de cette droite.

5, Si deux droites ÂB, GH sont parallèles, c'està-dire si elles ont même direction, quelles qxie soient XQwesXoxi^^avi^ cette relation s' exprimera par la notation AB II GH, qu'on appelle relation de parallélisme.

6, Si deux droites AB, IJ sont de même direction et de même sens, et si le rapport de leurs longueurs ^TTT sst égal à a, nombre positif, on dit que AB est équipollente au produit de a par IJ, et l'on écrit AB = a.ïJ.

7, Une droite BA est dite opposée à AB, et l'on convient de dire que deux droites opposées sont égales et de signes contraires, c'est-à-dire qu'on écrit BÂ = — AB.

4 PBliMrtRU PAliTlF. — CHAPITHE 1,

En d'autres termes, si deux droiLes sont de même longueur, de même direction mais de sens conlraircs, leur rapport est égal à — i .

8- Il suit de là, par exemple, que la relation du n" 6 peut s'écrire AB = — a . Jl.

D'une manière générale, deux droites AB, KL ayant même direction présenteront entre elles la relation AB=:c.KL,c étant un nombre positif ou négatif, selon que les deux droites seront de même sens ou de sens contraires.

La relation de parallélisme du n" 5, AB]] GH, peut donc se remplacer par l'équipollence AB := x GH , x étant un certain coefficient algébrique, positif ou négatif.

9. Comme conséquence de ce qui précède, il devient évident qu'on exprimera qu'un point M est situé sur une droite AB, en écrivant AM = a:AB, et en donnant au coefficient x toutes les valeurs positives ou négatives possibles. En faisant par exemple ^ = |, on aurait pour M le milieu de AB; en faisant ar= 3, on devrait, pour avoir M, prolonger AB en BM d'une longueur égale à elle-même ; en faisant a: =^ ^ i , on devrait prolonger BA en AM d'une longueur égale à elle-même, etc.

10. Généralement, sans que cette convention ait rien d'absolu, nous représenterons les quantités algébriques positives ou négatives par de petits caractères romains ou italiques.

Une droite pourra souvent se troiiver désignée par un seul symbole, et, dans ce cas, liabituellement, nous emploierons une petite capitale. Si nous écrivons par exemple AM = m, AB == b, l'équipollence du n" 9 prendra la forme m ^= iCB,

I IlbIS DIIOTTES.

Sommes géométriques.

11. Supposons que plusieurs droites AB,, CD, EF, GH {Jig- 2) soienl placées d'une manière quelconque dans un plan.

Construisons l'équipollence BI = CD, c'est-à-dire menons, par le point B, la droite BI de même longueur, de même direction et de même sens que CD. Construisons de la même manière les équipollences IK = EF, KL = GH.

Au lieu des droites AB, CD, EF, GH, nous aurons donc Ali, BI, llv, KL. Par définition, nous dirons que

la somme géométrie/ ue, ou plus simplement la somme des droites données, est égale à la droite AL qui joint l'origine de la première à l'extrémité de la dernière. Nous écrirons par conséquent

AB -+- CD -H EF -^ GH = An -!- BI + IK H- KL =- AL. Il est presque superflu de remarquer que la longueui de AL sera très différente en généra! de la somme des longueurs des droites données, puisque ABIKL forme d'ordinaire une ligne brisée. En aucun cas gr. AL ne saurait surpasser la somme des longueurs des droites

6 PRElllfeRE PARTIT!, — «HAPIIRE l.

L'opération que nous venons de définir est identique avec la composition des forces usitée en Mécanique,

12. Si nous considérons deux droites seulemenl, AB, AC{Jîg. 3), auxquelles nous supposons même origine, leur somme est égale à la diagonale AD du parallélogramme construit sur ces deux droites.

Il en résulte immédiatement que l'on peut changer l'ordre de deux droites sans altérer leur somme, et ensuite que, dans une somme d'autant de droites qu'on voudra, on peut intervertir l'ordre de ces droites de toutes les manières possibles sans que la somme soit altérée.

De même que l'on obtient la somme AD de deux droites AB, AGen construisant la diagonale duparallélo-

gramme ; de même aussi, en formant un parallélogramme quelconque, dont la diagonale soit AD, nous décomposons cette droite AD en une somme de deux droites dont les directions peuvent être choisies à volonté. Cette décomposition sera fréquemment employée.

iZ. La convention admise au n** 7 est en parfaite concordance avec la définition de l'addition; car si à la suite de la droite AB on porte BA'^= BA, le point A' coïncide avec A, si bien qtie la somme AB -V- BA est nulle.

La définition de la soustraction sera la même qu'en