OA.OA'(CC ^B'C')-!-0B.OB'(CA.-T-G'A
^-OC.OC'(ÂB--A'B'):=:(^.
Actuellement, supposons que l'on ait une droite EF
fis- 49) fi"ii forme une division harmonique, soit
Fig. 4!).
lE^ = IA.IA'= IB.IIÎ',
et par conséquent, si nous choisissons I pour origine, la formule ci-dessus deviendra
IEî(BG-^B'G'-!-CA-+-G'A') — IG.IC'(AB~A'B') = o,
i;6 SECONDE PARTIE. — ClIAl'ITRE YI.
c'est-à-dire
(iE2-IC.lG')(B4~B'A') = o.
Donc
(lo) IC.IG'= lEï.
On voit, en conséquence, que la division EF est harmonique à la fois avec AA.', BB', CC.
On peut donc donner de l'iûvolution cette définition nouvelle : Trois couples de points (ou plusieurs couples) sont en involulion lorsqu'ils admettent une division harmonique commune.
Les points E, F sont les points doubles de l'invohition ; leur milieu I en est le point central.
147. Pour construire trois (ou plusieurs) couples de points en involulion, il suffit, sur ime corde commune EF, de tracer trois (ou plusieurs) circonférences ; si P, Q, R, ... sont les pôles de EF par rapport à ces diverses circonférences et si l'on mène respectivement les sécantes quelconques PAA', QBE', RCC, . . . , les points A, A', B, B', C, C, ... seront en involulion.
Pour s'assurer si trois couples de points donnés A, A', B, B', C, C sont en involution, il faudra résoudre le problème de la division harmonique commune (138) pour les deux premiers couples, ce qui donnera EF, pais vérifier : i" que les quatre points E, F, C, C sont sur une même circonférence; 2° que ce prolongée passe par le pôle de EF par rapport à cette circonférence.
On reconnaîtrait sans difficulté, en appliquant les relations (fj), (10), que si plusieurs couples de points A, A', B, B', C, C, D, D', . . . sont en involulion, les points A, B, C, D, ... élani sur une même droite, les points A', B', C, D', ... seront distribués sur une
F.XERClClîS.
inême circonférence à laquelle appartiendra aussi le poiiiL I.
Nous bornerons ici les applications de la méthode des équlpollences à la Géométrie supérieure, notre seul but ayant été de montrer par quelques exemples combien cette mélhode s'y adapte heureusement et quel degré de généralité elle donne à la plupai't des théo-
EXEaCICKS SUR LK CHAPITRE VI,
1. Si l'on transforme par inversion les quatre quadrilatère harmonique, on obtient quatre points qui sont les sommets d'un nouveau quadrilatère harmonique.
Déterminer le pôle d'inversion, de telle sorte que le nouveau quadrilatère soil un carré.
Oo vérifie la relation (e) du n" I3à en y remplaçant AC, CE, ...
Quant à la seconde partie de l'énoncé, on résoudra le problème en exprimant que les milieux des deux droites A'B', CD' coïncident, ee qui conduit à une équipoUcnce facile do second degré. H y a donc deux solutions.
2. Soient ABC un triangle et M un point quelconque du plan. Soient A,, Bi, C, les conjugués bormoniques de M par rapport aus ti-ois couples de points (B, C), (G, A), (A, B); Aj, Bj, Cj les conjugués harmoniques de M par rapport aux couples (Bi, C), (G,, A,), (Aj, Bj), et ainsi de suite.
Démontrer que A„, B,„ G„, lorsque n tend vers l'infini, tendent à se confondre avec le point H défini par la relation
MH "" M A ^ ÂDi ~" MC ■
seconue
PAETIE. — CIIAPI
On i
MÂT, ^ Us ''" MC
II, si
no<is posons, en f
2Ma;=mb'+mc'.
On voit ainsi que tout point A|, estle milieu de la droite BÎ,,CI,,. Les points AI,, B^, C|, ont donc pour limite H' le barj'centre de A'B'C; d'où
3Mîr=MA'+MB'+MC',
MH " MA MB tue
3. Un angle ACB étant donné, si on lui mène par un point une sécante OMN quelconque et si l'on prend le conjugué harmonique P de par rapport à MIS, le Heu de P sera une droite (polaire du point O par rapport à l'angle}.
Si l'on mène deux sécantes OMN, OM'N', le point de rencontre Q des diagonales du quadrilatère MNN'M' appartient à
En écrivant CM = 3^», CN=ya et posant OC =r. aA -\- be, on a par déeomposilion
OM o-i-a :
ce qui montre bien que le point P décrit une droite. Q,..llt .u point 1), 0. ironw
par conséquent, le point Q est situé sur la droite dont n fie parler.
