Pour représenter un point M, en coordonnées
rectilignes, on donne son abscisse x et son ordonnée y.
Si OA, OE sont deux droites de longueur égale à l'unité,
suivant les ases coordonnés, nous aurons
OM = ,rOA^-jOB.
Si l'ase des x, OA, est pri sons, il viendra
poui
6 étant l'angle des as Si les coordonnées
int rectangulaires, OM = x + iy.
S'il s'agit de coordonnées polaires, l'axe polaire étant l'origine des inclinaisons, et r, w étant les coordonnées du point M, (3) OM = ;■:".
La détermination d'un point M par l'emploi de la droite OM, ou m, permet, on le voit, de faire rentrer dans ce seul symbole tous les systèmes de coordonnées
- CtIXPITRE VII.
imaginables, et spécialement les coordonnées rectilignes et polaires.
Lorsqu'un pointM se déplace d'une manière continue, el décrit ainsi une courbe, le déplacement inliniment petit MM' qu'il subit sur celte courbe sera représenté par dOM ou dm. Il est évident que cette droite infiniment petite a pour direction celle de la tangente à la courbe. On voit aussi qu'un point donné M peut subir une infinité de déplacements infiniment petits, dans toutes les directions possibles rayonnant autour de ce point sur le plan.
Le signe / ydx du Calcul infinitésimal représente
une somme d'éléments infiniment petits, en nombre infini, 11 en sera de même ici, mais les sommes considérées sont des sommes géométriques. Par exemple, si M,AM|i est un arc de courbe, qu'on peut identifier à une ligne polygonale d'un nombre infini de côtés, on écrira
f dM=Ha — M, = M,Ms,
en sorte que cette intégrale est toujours égale à la corde M, Ml, quel que soit l'arc de courbe joignant les cstrémilés.
Toutes les règles du Calcul ditlerentiei et du Calcul intégral subsistent en leur entier pour le calcul des droites; mais il était nécessaire d'insister tout d'abord sur la signification bien nette que prennent ici les expressions différentielle ou intégrale.
Ëquipollence d'une courbe.
149. Dans les équipoUences (i), (2), (3) ou dans toute autre qui dé terminer ait le pointM au moyen d'un système
APPLICATIONS A LA TllÉOKIE DES COURBIÎS. l83
c|iielconque de coordonnées, on doit concevoir que les coordonnées réelles :e,y, ou r, (o, sont liées entre elles par une équation, si M décrit une courbe déterminée.
On peut encore, ce qui revient exactement au même, imaginer que les deux coordonnées sont exprimées séparément au moyen d'une relation avec un paramètre re'e/ (, variable depuis — co jusqu'à -|-c». Substituant ces valeurs en fonction de t aux deux coordonnées dans î'équipollencc qui détermine M, il vient
(,) OM-!p(0 ou .i = -f(0.
C'est l'équipollence de la courbe M. Et, réciproquement, il est visible que toute équipollence de cette forme représentera une courbe lorsqu'on fera varier t d'une manière continue, depuis — co jusqu'à +co.
La fonction f est essentiellement géométrique, c'eslà-dire qu'elle peut contenir deux ou plusieurs droites de directions différentes, et le signe i en particulier; mais elle reste soumise, sans aucune exception, aux règles du Calcul algébrique et du Calcul infinitésimal.
C'est sous cette forme générale (i) que nous étudierons tout d'abord les principales propriétés des courbes. Un certain nombre d'exemples, l'examen d'une série de courbes particulières permettront ensuite de préciser et d'éclaircir, s'il était besoin, les généralités par lesquelles nous débutons.
Remarque. — Une courbe (i) étant rapportée à une origine O, si l'on veut avoir son équipollence rapportée h une autre origine C, il suffira évidemment d'écrire
CM = OM — 0C= ç{0-OC.
104 SEf^OKDE PARTIE. - CHAPITRE Vil.
Tangent 9 et normale.
ISO. Kopreiions l'équipollence d'une courbe [ilane
Ainsi que nous l'avons remarcjTié au a" 148, le déplacement infiniment petil MM' on du est dirigé suivant la tangente. Or, si nous prenons la dérivée de m, nous obtenons
et il est clair que cette dérivée -j-. ou iSm a la même direction que dig. Si MV (^g- 5o) est éqixipollente à cette
dérivée en grandeur et en direction, on aura donc
(3) MV = ç'(0,
qui nous donnera une droite suivant la direction de la
tangente demandée, au point M.
Si S est la longueur de la courbe, à partir d'une origine fixe quelconque, il est évident que ds:=grd^. Donc, d'après ce qui précède,
SrMV-g.
c'est-à-dli'c que la longueur de la droite M\ est égale à
APPLICATIOKS A T.\ THÉOUIE DUS COURBES. l8a
la dérivée rlc l'arc par rapport à la variable indépendante (.
Il est évident que la normale en M est donnée par l'expression tMV ou i'j'{t).
1S1. Soit à mener une tangente par un point extérieur A; il faudra qu'on ait, en appelant M le point de contact
Écrivant l'cquipollence conjuguée, il vient par div
cj(Oll cj(A — M)
Telle esll'équipoUenceàrésoudre pour déterminer les points de contact. Elle est à une seule inconnue, puisque M et (Dm sont des fonctions de /.
Pour les tangentes issues de l'origine, elle se réduirait à
ϕr ir
cj (ôsi oj 11
Si l'on propose de mener une tangente parallèle à une direction donnée OA^a, on verra de même que les points de contact sont donnés par l'équipollence
(Bm A
cj tOjl ~ cj A
Nous ne parlonspas desnormales par un pointdonné, ou parallèles à une direction donnée, ces lignes n'étant autre chose que des tangentes à la développée, dont nous parlerons tout à l'heure.
