Si S représente l'inclinaison de la tangente à
l86 SECONDE PAUTIE. — CHAPITRE VII.
une courbe, en M, on a (loO)
rfjL = :« (U.
L'équipollcncc de la courbe peut donc s'écrire encore
U est clair que cette équipollence, d'un usa^e avantageux pour certains problèmes, ne fixe que la /orme de la courbe, et non pas sa position, à moins que l'on ne donne la constante, qui est ici une quantité géométrique.
Naturelle ment, ô doit être considéré comme fonction de s, ou, ce qui revient au même, 9 et s comme fonctions de t. Ces diverses quantités sont essentiellement réelles.
Podaires,
153. La courbe étant rapportée au pôle, pris pour origine, si nous abaissons de ce point la perpendiculaire OP {fig- 5i) sur la tangente, le lieu des points P sera
lapodaire. Or supposons qu'on ait mis le quotient sous la forme ordinaire m + iu.. On aura (5) M = mCOii-v ([ifflM.
D'un autre côté,
(1 --- VU -h OP.
Le triaiig-le OPM étant rectangle, ces deu\ éciuipollences sont identiques, et l'on a, pour OP ou p
{&) p ^ i|j,(Bj];
telle est réquipoUence delà podairc demandée. Il est évident qu'en écrivant
{7) Q - m COu,
nous aurions le lieu des pieds des perpendicidalres abaissées de O sur les normales, c'est-à-dire la podaire de la développée.
Pour tout autre pôle que l'origine, on aurait la podaire en utilisant la remarque finale du n" 1-49.
154. Cherchons la direction de la tangente (Bp à la podaire. En prenant la dérivée de l'équipoUence (6), il vient
S>p= i(©iJ.Œ)ii-i- liifi^ii)
Or itOM=: -1 et, en prenant la dérivée de (5), on a
(0^[ 1 — (D»t — t COiJ.
©m" ~ m :- ill-'
Substituant, on trouve, par de très faciles réductions,
H représentant une quantité algéhrique, ou
(8, "^ Il fi.
Cette relation de parallélisme montre que, si nous appelons P) le point correspondant de la deuxième po-
180 SECONDE FAItTIE. — CHAPITRE Vil.
daire, les deux triangles OMP, OPP, sont semblables. De même pour toutes les podaires successives.
Il est visible aussi que la normale à la podairc passe par le milieu de OM.
Nous laissons au lecteur, pour abréger, le soin d'étudier les anti-podaîres successives, et aussi les podaires et anli-podaires inclinées, c'est-à-dire celles pour lesquelles l'angle OPM, au lieu d'être droiL, a une valeur donnée quelconque .
Développées. — Rayons de courbure.
iSS. Nous définissons la développée d'une courbe comme l'enveloppe de ses normales. Soient M {fig- Sa)
un point de la courbe, MR la normale, et R le point correspondant de la développée. Nous avons évidemment
(9) MR^R -.M = iiiOJi,
il étant une quantîic algébrique.
Comme (Bu doit avoir la direction de la normale, il
®K= Ci3>[-.-i(0"(Dji-.- iiiGiH Divisant pai- ifflji et posant
il reste
-i-^6iu^u(l--i\) = i'.
d'où
Transportant dans la relation (9),
