SI l'équipollence de la coiirjjc est doi
APPLICiTlONS ,1 LA THÉOUIE UES COtllBES. \g->
la forme (4) du n" lo^, le calcul devient beaucoup plus simple. On a, en effet,
doit Être parallèle à U". Donc
i62. Applif|nons ce qui précède à la dés'eloppanli! In cercle de rayon égal à l'unlLé
Ici, Q ^ ( + ^, s^ (, ce qui doniic
en annulant la constante c. Telle est l'équipoUence de la développante. Elle peut s'écrire évidemment
tt=Stdu', et cela permet d'avoir très aisément la seconde développante (N,); pour cela, nous poserons
et la formule (23) nous donnero (2:1) NN, = (<;-']).',
Les rayons de courbure des trois courbes (IN^i)i {^"f'
tqQ secokuh PAnTiE. — chapiï'H]; '
(M) sont donc rcspcclivemcnt
Droites diamétrales.
163, Nous a^'pc\ons droite cliainélraleM'W {fig- 54) d'une courbe, en un point M, la limite des droites joi-
f^nant ce point au milieu d'une corde voisine, parallèle à la tangente en M, lorsque cette tangente se rapproche indéfiniment,
L'équipollence de la courbe étant OM ^ a(;), soient M,,M2 deux points infiniment voisins de M de part el d'antre. Nous aurons
OMi = (f (( — A), OMî = ip { ( ^ A), k et h étant deux infiniment petits positifs; c'està-dire, en développant suivant la série de Taylor,
si2 = M + A ©su ^ (B^ u H — T (SHu- , . . ,
Ml =M — /tOH-^-— ffl!.M (B'Ji^.-..
De là, en appelant Q le milieu de M, M.,
ht — Ic'i h-i A- h'i
MQ = -(/!- ^) (jOm -!- " - ^- -- (B'M 4- ^©'ii-f-.., .
yGoosle
Il faut que M, Mj soîl parallèle à (Dm ; donc, enlevant le terme {h~\-k)'SiM. et supprimant dans ce ({ui reste les termes d'ordre supérieur au troisième, ce qui est évidemment licite, il nous vient, en divisant par — -;r :
3(/t-A)(Gi2.M--(A5 — M^/t')iB>ji 11 (iSM.
Pour que celte relation de parallélisme soit satisfaite, les deux termes doivent être de même ordre. Il faut donc que /; — k soit du second ordre, ce que nous exprimerons en écrivant h ^ li ^^ uh^ ; et alors, divisant
(a6) 3uft>2H-H'J35ii = .-©M.
La valeur de la quantité finie u étant déterminée par cette équipollencc, la droite MW de même direction que MQ sera
(27) MW = M©M-H(B=(i.
Telle est la direction de la droite diamétrale cherchée.
Si l'on suppose, comme plus haut, que -=-— soit mis sous la forme ^4- A, on peut calculer la valeur de u. On a en effet tout d'abord
(QHf
--Ql^i6A-i-{l^ily,
et l'équipoUence {a6) devient
2u{i+ il) -■:- m -^ iQi: ~ (I ■■- ii^y = V,
ce qui donne
yGoosle
jgS SLICONDE PAIMil', — CHAPiTitr l'I!.
En subsliluarjt dans la formule (a^), on trouve
OU, en ra|iprochaDt de la formule qui donne RRi (loa),
(.8, HW.X.(M,>-'fi).
Si donc nous prolongeons le rayon de courbure R|R de la développée en RO du tiers de sa longueur, nous
MW et MO ont donc même direction.
Lorsqu'on connaît !a droite diamétrale, comme potir les coniques, il résulte de là une construction très simple du rayon do courbure de la développée.
164. L'application aux coordonnées rectilignes (obliques ou reclangulaîres) est des plus simples. En effet, si A, B sont deux droites égales à l'unité, suivant les axes, et x, y les coordonnées de M, nous aurons, X étant la variable indépendante,
ji = xk -)- jD, tD.M = \ ^ys®y.
L'application de la formule (26) donne alors
3 (fi»/'
et la valeur (27) de MW est
3UJV V -^ 3^tô=j ;"■
Le coefficioot ang-ulaire de la droite diamétrale esi donc
'LICATIONS \ L* TLIÉOIIIE 1
Oacalation des courbes.
■16o, Soient deux courbes (M), (N) exprimées par les éqnipollences
eL supposons que u soit une fonction indéterminée de i, /((), telle que, pour une \aleup particulière de /, on ait M=s. Écrivant <E> [/(()] = F (i), nous désignerons par iDk, (R*w, ... les dérivées de n prises par rapport à t.
Attribuons i ; un accroissement infioîmenl petit h. II en résultera pour m et w des accroissements MM' 31 NN'. Si nous déterminons ia fonction u=f(t) de telle sorte que la droite M'N' soit la plus petite possible, elle prendra la Ibrme /t"+'p, la droite v clant
On dira alors que les deux courbes ont en M un contact de l'ordre n. S'il n'y a pas de singularité en M, l'ordre du contact sera entier. Toutes les lois que n est supérieur à l'unité, on dit que les deux courbes sont osculatrices.
Les accroissements MM', MN', d'après la formule de Taylor, peuvent se développer ainsi
MN' = AiSs + — ®'N-i'..., d'où
M'JN'= /ï((Dy-Œlu)-v— (iB^N— (ô'm)-^....
Il faudra donc, pour avoir l'ordre de contact, satisfaire au plus grand nombre possible des équipollences H = X, (0)1 = COiv, IB^ SI = (D^ N,
20O SECONDE PARTllî. — C^IAPITKE VI!.
Chcrcljons, d'après cela, le cercle osciilalciir en un point M d'une courbe donnée. R étant le centre de ci! cercle, nous pouvons écrire son équipollenee
et les points M, IN coïncidcHt pour ;; =; o.
On a
ffî^K = RM;"(((D2k— (01(2),
lil pour que le contact soit du second ordre, il faodiii,
On ne peut évidemment aller plus loin.
Par division, il vient
Donc (Su = À, et
Donc le point R est le même que nous avons déjà trouvé au n" 15S, en sorte que le cercle osculatenr ;i pour centre et pour rayon le centre et le rayon de cour-
Nous trouverons plus loin quelques nouvelles applications de la théorie de l'osculation des courbes.
