Reprenons l'cquipollence

où ■; est le paramètre variable de courbe à courbe, el proposons-nous de trouver une courbe qui coupe toutes celles-ià sous un angle a qui peut être constant ou bien fonction de ~, c'est-à-dire variable d'une courbe à une autre.

Nous verrions, comme au numéro précédent, que l'équipollence {3o) représentera la trajectoire cbercbée, pourvu que ï et t soient liés par une relation convenable. C'est cette relation qu'il s'agit de trouver.

La tangente à la trajectoire sera

et la condition du problème est

Gin . ^

c'est-à-dire

écrivant comme ci-dessus ^^ r:^ c + i'-', celte l'clalion devient

APPLICATIONS A LA TlIlîOnilî DES COCnolifi.

Telle est l'équation dlfféicnùello qui nous donncrn la relation cherchée.

Si l'on f'ail a= o, on a le problème des enveloppes, étudié au numéro précédent, c'est-à-dire que la relation (33) se réduit à y -- o, comme on l'a vu.

Si l'on fait a^= -j la trajectoire est orthogonale el la relation (33) se réduit à

Spirale logarithmique.

168. Nous passons maintenant à l'étude particulién: de quelques courbes, el nous débutons par la spirale logarithmiqiLe, à cause de la simplicité avec laquelle elle se présente, et de l'importance qu'elle a dans cette méthode. Nous en avons déjà dit quelques mois au n" 5^.

En prenant pour origine le pôle, et pour origine des inclinaisons le rayon vecteur égal à l'unité, i'équîpollence de la courbe est

La tangente en M (Jîg- 55) est donnée parla dérivée

et la normale est

[(Sm ^{ai - L)M.

On Q

yGoosle

ao4 SECONDE PAllKE, — ClIAPiTliE V[[.

La poàaire (IS3) esldonc représentée par la podajre de la développée par

-;=r— a pour expression a 4- j; par conséquent (153) le

rajon de courbure esl,

(5) MB = i®H = Cai-i)a,

el l'on a, pour l'cqiiipoUence de la développée,

169- On reconnaît sans peine que les courbes (a), (3), (4), (6) sont aussi des spirales logarithmiques, et

nous allons voir qu'elles sont toutes superposables avce la spirale donnée (i) par une simple rotation autour du pôle. En effet, toutes leurs équipoUences sont de la fornie

Si nous faiso ns tourner tout d'une pièce cetle courbe

APPLICATIONS A LA THÉORIE DES COUlUtliS, 200

(M|) autour du pôle, d'un cerlaiii angle S, nous avons or ie poinL de la spirale (i) correspondant à i + |5 + 5

Poin- que les deux courbes (M^) et (M') coïncident, 11 suffit donc qu'on ait

6 = eP+S ou B:i^l0gi~[J.

Ainsi touies les spirales obtenues sont superposablcs à la première,

170. Il est à peine utile de faire remarquer qu'en vertu de la relation (2) l'angle de Om avec m est constant et que, par suite, la spirale logarithmique est la trajectoire oblique, d'angle constant, de toutes les droites issues d'un même point; a étant l'angle constant, on

a = Kota.

171. La droite diamétrale en M (163) s'obtient bien aisément; car on a, en général, CÔM^(a+l)M, si bien que l'équipollence (26) du numéro précité devient

d'où

et, en substituant dans l'équipollence (27),