La remarque faite au n" 169 montre qiiel'uqm

lob SECONDE PAilTlK. — CIIAPITIII! ïll.

pollence la plus générale d'une spirale logaritlimiqvie quelconque ayant son pôle à l'origine peut s'écrire

on, en posanl e*s''^ Mo, e"s''^ X, (8) ~ = K'.

Celle forme peut être parfois d'un emploi utile, i;n raison de sa simplicité et de sa général] Lé.

173. Nous terminerons cette étude somraaire de ta spirale logarithmique par la recherche du centre de gravité d'un arc homogène M» M) de la courbe.

D'une manière générale, on a le centre de gravité G d'un arc de courbe en supposant chacun de ses points affecté d'un coefficient proportionnel à l'arc élémentaire ds et en prenant ie point moyen de ce svstème de points en nombre infini, ce qui donne évidemment

r l'équipollence (a) donne

ds = i/a--^ie'

"dl.

"'-.'di..

Donc nous obtenons

Ari>L[(]*Tio\s A. r.,i THfiOKLii; ces cotiRUns. 207

Si nous écrivons

il vienl

et les conslructions dus points U et G deviennent alors tout à fait élémentaires, au moven des équipollences

(1 1) et {12).

Parabole.

m. ÉquipoUence. — L'équaiion de la parabole, rapportée à un diamètre OÂ et à la tangente correspondante OB, étant j'^=: ipx, on voit qnesonéqulpollence peut s'écrire

A, et Di étant deux droites égales à l'unité, suivant OA et OB. Soit — -~ A, 11, = B ; l'équipollenee de la courbe deviendra, en remplaçant^)' par ;,

il) ,l-(^A--;îi.

A.U moyen de cette équipollence, en la discutant, on reconnaîtrait facilement la forme de la courbe.

En transportant l'origine en un autre point C {fig- 5(>) de la courbe, on peut amener les deux droites, coefficients de (- et de t, à être rectangulaires. En effet, on

cl, par soustraction,

On peut toujours choisir la valeur de c de telle sorte

5o8 SEGOnnE PARTIE. — CUAPITKE Vil.

que B + -ÀCK soit perpendiculaire à a. Dès lors, prenant C pour origine, remplaçant ( — c par i, et b + acApar B, l'équipollence prend la forme (i), les deux droites a, li étant rectangulaires.

Il est clair enfin qu'en changeant t en at, on peut s'arranger pour que les longueurs de a et de it deviennent égales. Si l'on choisit cette longueur commune pour unité, l'équipollence devient

(2) n=t^-hit.

I.e calcul précédent donne de lui-même te sommet (j de la courbe.

Sous cette dernière forme (2) on peut bien étudier les diverses propriétés de la courbe, mais on ne saurait comparer plusieurs paraboles diiférentes, puisque l'on suppose une ligne spéciale prise pour unité.

Soient deux paraboles, ayant même diamètre et même tangente à l'exlrémilé (ou bien rapportées toutes deu\ au sommet):

Si dans la seconde équipollcncc nous remplaçons / par a(, il viendra

m'= t^a^x'^ /ao'.

Posant a= —,: —,7 onaura — '- ^= — ^^,et l'équipollence de la seconde parabole sera

M'--= A-{i=A-l-iB) =/fM.

Donc les courbes considérées sont homothétiques, et par conséquent toutes les paraboles sont semblables.

On remarquera qu'en laissant en évidence le paramètre, l'équipollence de la parabole rapportée au

APPLICATIONS A I.A TlItORlE DES COLRItHS. ?,OCf

sommet peiil s'écrire

(2') M = -ip(t^+it).

17ë. Tangente et normale. Foyer. — En [jrenani (iSO) la dérivée de réqulpoUence (i), on a

(3) (Dm = 2(a-+-b,

ce qui donne la langcnle en M {fig. ô6).

rig, ao.

L'intersection S de celte tangente avec OA s'obtlendr; m écrivant m H- u (Bm -- v s. ou

(^A hniH- «(2(i--n) --r. v\ ^ OS.

propriété bien conaue, si l'on remarque que (^a es l'abscisse du point M.

Menons une droite ME qui forme avec la tangente c M un angle égal à celui que forme cette tangente ave OA, Nous aurons

(5) OM— ~ =OF=M-C^.v-îii- 7^=-7;-

Cette valeur étant indépendante de t, on voit que toutes les droites telles que ME passent par un point fise F; ce point est le foyer, dont on reconnaît ici la propriété caractéristique.

Soit à présent une droite MG {Jig- 36) formant avec la tangente un angle égal à celui de b avec a; on aura

Si actuellement OM est décompose en son abscisse OP et son ordonnée PM, on a

Delà

(6) PM - — = PN = - -?1 = a OF.

Lorsque l'angle AOB est droit, on reconnaît dans l'équi pollen ce (6) la propriété de la sous-normale.

Sil'on adopte, pour représenter la courbe, la forme simplifiée (a), la tangente est alors donnée par

(BjI ■-■^ ■>.t-\r i,

la normale par

(■(Dm = i(( — 1, et le fojer par

APPLICATIONS A LA THÉOKIE l

176. Podaires. — Rapportons la courbe au comme origine. D'après i'é qui polie ne e (5) on aur

foyer

Delà, divisant par {?>),

FM ■»r\-m t .\K

Par suite (133), [a sera constant et la podairc primera par

C'est évidemment une droite, dans laquelle il e.' de reconnaître la tangente au sommet.

Cherchons maintenant la podaire par rapport i sommet, et reprenons pour cela l'équipoUence (a')

(3') a-^^pit^-^it).

Formant ^ ^= m -\- iu, on trouve tout de su

2T2 SECOSUE i'ARTlE. CHAPITRE Ail.

i'- = ■ et, par suite,

Pi— (> COm = ■ip ni^p^ '^ '' - ') est l'équî pollen ce de la podalre.

En changeant i en - on lui donne la forme plus s'impir

et, en posant — t ^ langT, on oLticnl encore

équipolSence facile pour la discussion de lu courbe en coordonnées polaires.

177. Développée ; rayon de courbure. — Prenoiis toujours l'équipollence de la courhe sous la (orme (2')- Âlors IB^m = 4Pi el, en formant^ :=:/+;)., on trouve

Donc (165) le rayon de courbure MR est

(9) MR=j,(4i^-i-i)(i-2iV), et Téquipollcnce de la développée devient

(10) R=ji-)-MR=/.(6iS-i-i — 8i(').

En prolongeant RM en MD de la moitié de sa Ioliguenr, on a

Le point D appartient donc évidemment à une droite, qui n'est autre que la directrice; de là une construction des plus simples du rayon de courbure.

A1'PLIC*L'10NS A LA rUÙOLlII] DES COCLlIïBS. 2 J ij

478. Parabole osculatrice à une courbe donnée. — Soit M = ç(î) l'éqiiipoUence d'une courbe donnée, et (Sm = MV sa tangente en un certain point M. Cherchons à construire une parabole qui ait en M, avec la courbe, un contact d'ordre aussi élevé que possible. L'équipoUence de celte parabole sera (ITi), en appelant MU son diamètre en M, et N un point quelconque de la courbe,

(II) MN:^ iîMU + aMV.

Pour s = o, les points N, M coïncident. 11 faut donc (165) rendre égales, pour cette valeur 3 = 0, !e plus grand nombre possible des dérivées (Dm, (B-k, . . . avec les dérivées correspondantes <Bm, (B^m, ....

Or l'équation (11) nous donne, par dérivations successives,

(ON =a3lB^MU-i-tBaMV,

tO% = a({Djiï-(-3Œl2a)MU + (B"^MV,

Faisant s = o et remarquant que la première condition, (ôm =:= (On, entraîne (Dz ^ i, MV=(Sm, on voit (]ue les deux conditions suivantes seront exprimées par les équipollenoes

(O^M =^ 6(D=aiVIU -h iB'sCBii.

lie là,

ce qui suffît à déterminer le coefficient 3(0-3; puis

2 MU =— (Oîa(BM-t-ffini.

Si l'on pose (0^^ =^ — « et si l'on rapproche ce qui précède du n° 163. on reconnaît que MU n'est autre

2l4 SEGONDl! PARTIE. — CiUPlTBK VII.

quela droite diamétrale correspondanL au poinlM, c'eslà-dire que les droites MU, MW coïncident.

Il est visible d'ailleurs qu'on ne peut pas pousser plus loin l'osculation, la parabole étant dès lors déterminée. Le contact est donc du troisième ordre, d'une manière générale.

Ellipse .

179. Équipolleiice; diamètres conjugués. — L'équation de l'ellipse rapportée à ses axes étant

et alors, en prenant le centre pour origine et le grand axe pour origine des inclinaisons, l'équipollence de \;\ courbe prend la forme (1) M = «cos( + itmi;.

Si nous donnons à t deux valeurs a, œ -H 71 nous aurons deux points particuliers A, B de la courbe {fig- 58 ) et

De là,

A cosi + B sinî = «cos(( + ï) -^ iïsin(! --;■ a), et, comme le second membre n'est autre que le second membre de (i), où t est remplacé par ï 4- et, il s'ensuit que l'équipollence peut encore s'écrire

(3) «I^ ACOSÎ + RSilli,

On reconnaît dans les droites a, b deux demi-diamètres conjugués delà courbe.

APPUCATIOMS A LA ÏIIÉOEIE DES

Des relalions (3) on déduit

ACJA+BCJB=a=-l-Ô',

ACJB-BCJA - -■liab, ;e qui dômonlrc iiiimédialemcnt les

d'Apollonius, les seconds membres étant constants

180, Foyer. — Lcscqiiipollcnces(Li) donnent encon la relation presque évidente

On détermine done ainsi deux points F, F, , symétriques par rapport au centre, situés sur le grand axe. Ce sont les foyers de la courbe.

La relation (4) peut s'écrire

(5) Aï = (F-

E)(F-B)=(B-F,)(F-B)=-BFilîF.

On en déduit que le produit de deux rayons vecteurs aboutissant à un point B est égal au carré du demi-diamètre conjugué à OB , el que ces rayons vecteurs forment des angles égaux avec ce demi-diamètre conjugué.

Connaissant deux demi-diamètres conjugués A, b, on

3lb SECONDE PARTIE, — CHAPl

peiiL ohlenir les fojcrs en écrivant

car, si nous prenons le Lriangic BOE direcLeraent semblable à AOB, il vient OE = - ; et tout est ramené à une conslruction de moyenne proportionnelle.

Plus aisément encore peut-être, écrivons

En abaissant de A. une perpendiculaire sur OB, ei portant AK, AK-i de longueurs égales à OB, sur cette perpendiculaire, on a